Question

Verifique se o conjunto solução do sistema linear homogêneo abaixo é subespaço
vetorial do IR^3.

Answer 1

Resposta: S é um subespaço vetorial do R3

Explicação passo-a-passo:

O conjunto das soluções do seguinte sistema linear homogêneo é um subespaço

vetorial do R3

(  x + 2y − 3z = 0  x − 2y + z = 0

Vamos obter a solução do sistema linear homogêneo:

(  x + 2y − 3z = 0  x − 2y + z = 0 ⇐⇒ (  x + 2y − 3z = 0  −4y + 4z = 0

De onde obtemos y = z e x = z, com z ∈ R livre.

Assim, podemos escrever o conjunto solução do sistema da seguinte forma:

S =  n  (x, y, z) ∈ R  3  | (x, y, z) = α(1, 1, 1), α ∈ R  o

Vamos verificar que valem as condições de subespaço para S:

(i) Tome α = 0, assim, α(1, 1, 1) = (0, 0, 0) ∈ S, logo o elemento neutro do R3

está em S;

(ii) Tome X1, X2 ∈ S. Temos que X1 = α1(1, 1, 1) e X2 = α2(1, 1, 1). Assim, X1 + X2 =

α1(1, 1, 1) + α2(1, 1, 1) = (α1 + α2)(1, 1, 1), logo X1 + X2 ∈ S;

(iii) Tome X ∈ S e β ∈ R. Temos: βX = β(α(1, 1, 1)) = βα(1, 1, 1), logo βX ∈ S.

Assim, S é um subespaço vetorial do R3 .