Question

Verifique se o conjunto S ⊂ R 2 dado por S = {(x, y), x = y + 1} é subespaço

Answer 1

Para verificar se o conjunto S é subespaço de R² devemos fazer o teste da soma e da multiplicação. Partimos de que, para ser um subespaço, deve-se atender a seguinte condição:

• Todo subespaço vetorial deve ter o vetor nulo.
• A soma entre dois vetores quaisquer deve está contida no conjunto.
• A multiplicação entre dois vetores quaisquer deve está contida no conjunto. Caso contrário, se as condições não forem atendidas, então não é subespaço.

Seja $v=(x_1,y_1)$ e $u=(x_2,y_2)$, então

$v+u=(x_1+x_2~,~y_1+y_2)\\ \\ \\ v+u=(y_1+1+y_2+1~,~y_1+y_2)\\ \\ \\ v+u=(y_1+y_2+2~,~y_1+y_2)$

Veja que a primeira condição não satisfaz, uma vez que se y1 e y2 for 0 ainda assim não teremos o vetor nulo. Dessa forma, podemos concluir que S não é subespaço do R².