Question

Verifique se existe a є R tal que a função f(x) = { 1 + ax, se x <= 0, seja contínua em R {x^4 +2a, se x > 0,

Answer 1

Verificar se uma função é continua muito importante em diversos teoremas e estudos de Cálculo, temos muitas maneiras ver isso, a que vamos ver aqui é, se uma função é continua em "p" temos que os limites laterais convergem e que o valor do limite quando tende aquele valor é igual ao valor da função, ou seja:

           $\Large\displaystyle\lim_{x \to p} f(x) = f(p) \iff \begin{cases} \displaystyle\lim_{x \to p^+} f(x) = f(p)\\\\\displaystyle\lim_{x \to p^-} f(x) = f(p)\\\end{cases}$

Dito isso, temos que garantir que esse condição seja satisfeita, como nossa função é:

                       $\Largef(x) = \begin{cases} 1+ax, & se\ x \leqslant 0\\ \\x^4 + 2a, & se\ x > 0\\ \end{cases}$

Então como garantir continuidade? fazendo os limites laterais! eles devem convergir

Vamos fazer primeiro o limite pela esquerda de 0, temos então:

                                 $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to p^-} f(x) &= f(p)\\ \\\lim_{x \to 0^-} 1 + ax &= f(0)\\ \\f(0) &= 1\\ \\\end{aligned}$

Como quando x tende a 0, a função no ponto x = 0 sempre terá valor 1 quando vier dos reais negativos, então temos pela direita:

                               $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to p^+} f(x) &= f(p)\\ \\\lim_{x \to 0^+} x^4+2a &= f(0)\\ \\2a &= 1\\ \\a &= \dfrac{1}{2}\\ \\\end{aligned}$

Ou seja, a função é continua quando a é igual a meio, portanto a função é:

                        $\Largef(x) = \begin{cases} 1+\dfrac{x}{2}, & se\ x \leqslant 0\\ \\x^4 + 1, & se\ x > 0\\ \end{cases}$

Segue em anexo o gráfico da função

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida respondo nos comentários

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