Question

Verifique se é um paralelogramo o quadrilátero de vértices:
(a) A(4,−1, 1), B(9,−4, 2),C(4, 3, 4), D(4,−21,−14);
(b) A(4,−1, 1), B(9,−4, 2),C(4, 3, 4), D(9, 0, 5)

Answer 1

 Verifique se é um paralelogramo o quadrilátero de vértices:
(a) A(4,−1, 1), B(9,−4, 2),C(4, 3, 4), D(4,−21,−14);
(b) A(4,−1, 1), B(9,−4, 2),C(4, 3, 4), D(9, 0, 5)


Primeiro vamos fazer uma modificação para transformar os pontos em vetores:

Escolhemos um ponto como origem, e utilizamos operações matemáticas de soma e subtração para zerá-lo (0,0,0) e usaremos as mesmas operações nos outros pontos:

A(4,-1,1) será o ponto de origem. Para ele ser (0,0,0) precisaremos subtrair 4 de x, somar 1 ao y e subtrair 1 de z. E faremos o mesmo a todos os outros pontos: (x-4 , y+1 , z-1)

A(4-4 , -1+1 , 1-1) = A (0,0,0)
B(9-4 , -4+1 , 2-1) = B (5,-3,1)
C(4-4 , 3+1 , 4-1) = C (0,4,3)
D(4-4 , -21+1 , -14-1) = D (0,-20,-15)

Pronto! Temos agora:

$A (0,0,0), B (5,-3,1), C (0,4,3), D (0,-20,-15)$

São 4 pontos, podemos agora considerar 3 vetores, todos partindo da origem (A).
$\vec{b} (5,-3,1), \vec{c} (0,4,3), \vec{d} (0,-20,-15)$


Precisamos verificar:
- se esses vetores estão no mesmo plano (coplanares),
- se o quadrilátero formado tem lados opostos paralelos.

Vamos utilizar o PRODUTO MISTO, que corresponde ao volume formado por esses 3 vetores.

Porém esse resultado precisa ser 0 para que eles sejam coplanares. Se for diferente de 0 significa que um deles está fora do plano, o que forma um sólido espacial e gera um volume.

PRODUTO MISTO, determinante da matriz dos 3 vetores:

|5    -3      1  |
|0    4      3  |
|0    -20    -15|

[5*4*(-15)]   +   [(-3)*3*0]  +  [1 * 0 * (-20)]   -   [1*4*0]   -   [5*3*(-20)]  -  [(-3)*0*(-15)]
- 300  + 0 + 0 - 0 + 300 - 0 =  300 - 300 = 0

Isso significa que os vetores são coplanares.

Então já sabemos que temos alguma figura quadrilátera. Mas para ser um PARALELOGRAMO, é necessário que os lados opostos sejam paralelos e, portanto, que os angulos opostos sejam iguais.

$\overline{AB}=\overline{CD}$   e   $\overline{BC}=\overline{AD}$

Se
$A (0,0,0), B (5,-3,1)$
logo:
$\overline{AB}=|\vec{b}|$
$\overline{AB}= \sqrt{5^{2} + (-3)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{35}$

Se
$C (0,4,3), D (0,-20,-15)$
$\overline{CD}= \sqrt{(0-0)^{2} + (-20-4)^{2} + (-15-3)^{2}}$
$\overline{CD}= \sqrt{0 + 576 + 324}$
$\overline{CD}= \sqrt{900} = 30$

$\overline{AB}=\overline{CD}$
$\sqrt{35}=30$ --> FALSO

Já podemos parar a conta por aqui, porque  $\overline{AB}$    e   $\overline{CD}$ não são paralelos!



LETRA B:

Processo identico:
- Transforma A em origem:


A(4-4 , -1+1 , 1-1) = A (0,0,0)
B(9-4 , -4+1 , 2-1) = B (5,-3,1)
C(4-4 , 3+1 , 4-1) = C (0,4,3)
D(9-4 , 0+1 , 5-1) = D (5,1,4)

Temos agora:

$A (0,0,0), B (5,-3,1), C (0,4,3), D (5,1,4)$
ou seja,
$\vec{b} (5,-3,1), \vec{c} (0,4,3), \vec{d} (5,1,4)$


PRODUTO MISTO: esse resultado precisa ser 0 para que eles sejam coplanares.

|5    -3      1  |
|0    4      3  |
|5    1      4  |

[5*4*4]   +   [(-3)*3*5]  +  [1 * 0 *1]   -   [1*4*5]   -   [5*3*1]  -  [(-3)*0*4]
80  -45 + 0 - 20 -15 - 0 =  35-35 = 0

Isso significa que os vetores são coplanares.

Lados opostos são paralelos?

$\overline{AB}=\overline{CD}$   e   $\overline{BC}=\overline{AD}$

Se
$A (0,0,0), B (5,-3,1)$
logo:
$\overline{AB}=|\vec{b}|$
$\overline{AB}= \sqrt{5^{2} + (-3)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{35}$

Se
$C (0,4,3), D (5,1,4)$
logo:
$\overline{CD}= \sqrt{(5-0)^{2} + (1-4)^{2} + (4-3)^{2}}$
$\overline{CD}= \sqrt{25 + 9 + 1}$
$\overline{CD}= \sqrt{35}$

$\overline{AB}=\overline{CD}$
$\sqrt{35}=\sqrt{35}$ -> VERDADEIRO







$B (5,-3,1), C (0,4,3)$
logo:
$\overline{BC}=\sqrt{(0-5)^{2} + (4-(-3))^{2} + (3-1)^{2}}$
$\overline{BC}=\sqrt{(-5)^{2} + (7)^{2} + (2)^{2}}$
$\overline{BC}=\sqrt{25 + 49 + 4}$
$\overline{BC}=\sqrt{78}$



$A (0,0,0), D (5,1,4)$
$\overline{AD}=|\vec{d}|$
$\overline{AD}= \sqrt{5^{2} + 1^{2} + 4^{2}}$
$\overline{AD}= \sqrt{25 + 1 + 16}=\sqrt{42}$

$\overline{BC}=\overline{AD}$
$\sqrt{78}=\sqrt{42}$ --> FALSO


Também Não é um paralelogramo!