Question

Verifique se cada uma das seguintes funções tem ponto mínimo ou ponto máximo e dê as coordenadas desse ponto.

a) y= x² - 8x + 6
b) y= -x² + 4x + 5
c) y= -6x² + 6x

Answer 1

A parábola terá concavidade para cima e ponto mínimo quando o a for positivo 
e
A parábola terá concavidade para baixo e ponto máximo quando o a for negativo.
 
Agora é mais fácil responder (:
a) y= x² - 8x + 6
concavidade para cima/ ponto mínimo

b) y= -x² + 4x + 5
concavidade para baixo/ ponto máximo

c) y= -6x² + 6x
concavidade para baixo/ ponto máximo

Sabendo que:
Yv =  -delta/ -4a

Xv = -b/ 2a

a) y= x² - 8x + 6
Xv = 8/ 2 = 4
Yv = - (64 - 4. 6) = -40/ -4 = 10
(4 , 10)

b) y= -x² + 4x + 5
Xv = -4/ -2 = 2
Yv = - (16 + 20)/ 4 = - 36/4 = -9
(2, -9)

c) y= -6x² + 6x
Xv = -6 / -12 = 1/2
Yv = - (36 - 0)/ 24 = -36/24 = -3/2
(1/2 ; -3/2)

Answer 2

(a) P (4, -10)

(b) P (2, 9)

(c) P (1/2, 3/2)

Esta questão está relacionada com equação do segundo grau. As equações de segundo grau são caracterizados pelo expoente do termo de maior grau igual a 2. Desse modo, as equações de segundo grau possuem duas raízes. Para determinar essas raízes, utilizamos o método de Bhaskara.

Veja que as equações de segundo grau são representadas por parábolas. Caso o coeficiente angular seja positivo, a parábola possui concavidade para cima, o que indica um ponto de mínimo. Caso o coeficiente angular seja negativo, a parábola é voltada para baixo, o que indica um ponto de máximo.

Para determinar os pares ordenados referentes aos pontos de máximo, vamos derivar a equação e igualar a zero. Assim, encontramos o valor de X e podemos substituí-lo na função para calcular o valor de Y. Portanto:

$\textbf{(a) }y'=2x-8=0 \rightarrow x=4 \\ \\ y_{max}=4^2-8\times 4+6=-10 \\ \\ \\ \textbf{(b) }y'=-2x+4=0 \rightarrow x=2 \\ \\ y_{max}=-2^2+4\times 2+5=9 \\ \\ \\ \textbf{(c) }y'=-12x+6=0 \rightarrow x=\frac{1}{2} \\ \\ y_{max}=-6\times (\frac{1}{2})^2+6\times (\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$

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