Question

Verifique se cada equação representa ou não uma circunferência.
A) 2x² + 2y² - 8x - 12y + 8 = 0.
B) 3x² + 3y²-24x + 12y + 60 = 0.​

Answer 1

Se as equações forem uma circunferência, será possível reescreve-las na forma da equação reduzida da circunferência, mostrada abaixo.

$\sf Equacao~Reduzida~da~Circunferencia:~~\boxed{\sf (x~-~a)^2~+~(y~-~b)^2~=~r^2}\\\\Onde~o~ponto~(a,b)~\acute{e}~o~centro~da~circunferencia~e~r,~seu~raio~(com~ r > 0).$

a) Sim, representa uma Circunferência de Raio 3

$\sf 2x^2~+~ 2y^2 ~-~ 8x~ -~ 12y ~+ ~8 = 0\\\\\\(2x^2~-~8x)~+~(2y^2~-~12y)~+~8~=~0\\\\\\2\cdot (x^2~-~4x)~+~2\cdot (y^2~-~6y)~+~8~=~0\\\\\\ 2\cdot\Big((x^2~-~4x)~+~ (y^2~-~6y)\Big)=\,-8\\\\\\(x^2~-~4x)~+~ (y^2~-~6y)=\,-4\\\\\\Vamos~Completar~os~quadrados~das~expressoes~em~parentesis\\\\\\Lembrando:~~\boxed{\sf (x+a)^2~=~x^2~+~2\cdot a\cdot x~+~a^2}$

$\sf \Big(x^2~+~2\cdot (-2)\cdot x+(-2)^2-(-2)^2\Big)+\sf \Big(y^2~+~2\cdot (-3)\cdot y+(-3)^2-(-3)^2\Big)~=\,-4$

$\sf \Big(x^2~+~2\cdot (-2)\cdot x~+(-2)^2-4\Big)+\sf \Big(y^2~+~2\cdot (-3)\cdot y-(-3)^2-9\Big)~=\,-4\\\\\\\sf \Big(x^2~+~2\cdot (-2)\cdot x~+(-2)^2\Big)-4+\sf \Big(y^2~+~2\cdot (-3)\cdot y-(-3)^2\Big)-9~=\,-4\\\\\\\sf (x-2)^2-4+\sf (y-3)^2-9~=\,-4\\\\\\\sf (x-2)^2+\sf (y-3)^2~=\,-4+9+4\\\\\\\sf (x-2)^2+\sf (y-3)^2~=~9\\\\\\\boxed{\sf (x-2)^2+\sf (y-3)^2~=~3^2}$

Como pudemos reescrever a equação dada na forma da equação geral circunferência, podemos afirmar que a equação representa uma circunferência.

b) Não representa uma Circunferência

$\sf 3x^2~+~ 3y^2 ~-~ 24x~ +~ 12y ~- ~60 = 0\\\\\\(3x^2~-~24x)~+~(3y^2~+~12y)~+~60~=~0\\\\\\3\cdot (x^2~-~8x)~+~3\cdot (y^2~+~4y)~+~60~=~0\\\\\\ 3\cdot\Big((x^2~-~8x)~+~ (y^2~-~4y)\Big)=\,-60\\\\\\(x^2~-~8x)~+~ (y^2~+~4y)=\,-20\\\\\\Vamos~Completar~os~quadrados~das~expressoes~em~parentesis\\\\\\Lembrando:~~\boxed{\sf (x+a)^2~=~x^2~+~2\cdot a\cdot x~+~a^2}$

$\sf \Big(x^2~+~2\cdot (-4)\cdot x+(-4)^2-(-4)^2\Big)+\sf \Big(y^2~+~2\cdot (2)\cdot y+(2)^2-(2)^2\Big)~=\,-20$

$\sf \Big(x^2~+~2\cdot (-4)\cdot x+(-4)^2-16\Big)+\sf \Big(y^2~+~2\cdot (2)\cdot y+(2)^2-4\Big)~=\,-20\\\\\\\sf \Big(x^2~+~2\cdot (-4)\cdot x+(-4)^2\Big)-16+\sf \Big(y^2~+~2\cdot (2)\cdot y+(2)^2\Big)-4~=\,-20\\\\\\\sf (x-4)^2-16+\sf (y+2)^2-4~=\,-20\\\\\\(x-4)^2~+~(y+2)~=\,-20+16+4\\\\\\(x-4)^2~+~(y+2)~=~0\\\\\\\boxed{\sf (x-4)^2~+~(y+2)~=~0^2}$

Como podemos perceber, ao tentarmos reescrever a equação dada na forma da equação geral circunferência, chegamos a uma "circunferência" de raio nulo (0), no entanto toda circunferência tem raio maior que 0, portanto não, a equação não representa uma circunferência.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$