Question

Verifique se cada afirmativa é verdadeira ou falsa
O numero. 0,111...não pertence a irracional
Os numeros raiz de tres pertence a irracional
Os numeros 5 e 1,70pertencem a irracional

Answer 1

Resolução da questão, veja:

Farei a demonstração da afirmativa 2:

Seja $\mathsf{\sqrt{3}~\in~\mathbb{R}}$, mostrar que $\mathsf{\sqrt{3}~\notin~\mathbb{Q}}$

Suponhamos, por absurdo, que $\mathsf{\sqrt{3}~\in~\mathbb{Q}}}$. Assumindo isso, podemos então escrever $\mathsf{\sqrt{3}}$ como a razão entre dois números inteiros, observe:

$\mathsf{\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}};~~\mathsf{mdc(p,q)=1;~ p~\in~\mathbb{Z}~e~q~\in~\mathbb{Z^*}}$

Elevando ambos os lados ao quadrado, teremos:

$\mathsf{3=\left(\dfrac{p}{q}\right)^2}~~\to\mathsf{p^2=3q^2}$

Pela equação acima, vemos que 3 divide p², e se divide p², também divide p, ou seja, p é um múltiplo de 3. Desse modo, podemos dizer que:

$\mathsf{p=3k;~k~\in~\mathbb{Z}}}$

Substituindo p = 3k em p² = 3q², teremos:

$\mathsf{p^2=3q^2}\\ \\ \\ \mathsf{(3k)^2=3q^2}~~\to~\mathsf{q=3k^2}$

Pela equação acima, vemos que 3 divide q², e se divide q², também divide q. Chegamos no que conhecemos como um absurdo matemático, visto que p e q não tem fatores em comum, isso pois o mdc(p,q) = 1. Dessa forma, o número 3 não pode dividir p e q ao mesmo tempo, ou seja, √3 não é racional. Portanto, concluímos por absurdo que √3 é irracional.

Dessa forma, a afirmativa 2 está correta.

Espero que te ajude!