Question

Verifique se as transformações abaixo são injetoras.
a) T: R2 ⟶ R3 tal que T(x, y) = (x − y, y − x, 2x − 2y)

b) T: R3 ⟶ R2 tal que T(x, y, z) = (x + y + z, x − y − z)

Answer 1

Uma transformação linear é injetora se, e somente se, o seu núcleo é o espaço nulo. Sendo o núcleo o conjunto de vetores tal que $T(v)=0$, temos que:

a)

$N(t)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\;|\;T(x,y)=(0,0,0)\}$

$N(t)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\;|\;(x-y,y-x,2x-2y)=(0,0,0)\}$

Daí tiramos os seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}x-y=0\\y-x=0\\2x-2y=0\end{matrix}\right.$

Das 1º e 2º equações tiramos que $x=y$. Substituindo na 3º equação, achamos que $0=0$. Concluímos assim que todo vetor do tipo $(x,x,z)=x(1,1,0)+z(0,0,1)$ pertence ao núcleo de $T$.

Como $N(T)\neq \{(0,0,0)\}$, concluímos que $T$ não é injetora.

b)

$N(t)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\;T(x,y,z)=(0,0)\}$

$N(t)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\;(x+y+z,x-y-z)=(0,0)\}$

Daí tiramos os seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}x+y+z=0\\x-y-z=0\\\end{matrix}\right.$

Da 1º equação, tiramos que $y+z=-x$, substituindo na 2º equação:

$x-(y+z)=0$

$x-(-x)=0$

$2x=0\therefore x=0$

Substituindo tanto na 1º quanto na 2º equação, ficamos com$0+y+z=0\therefore y=-z$. Concluímos assim que todo vetor do tipo $(0,y,-y)=y(0,1,-1)$ pertence ao núcleo de $T$.

Como $N(T)\neq \{(0,0)\}$, concluímos que $T$ não é injetora.