Question

Verifique se as retas abaixo são concorrentes e ,em caso afirmativo ,determinar as coordenadas do ponto de intersecção :
r1: x-3/2 = y+1/-3 = z -2 /4


r2 :
x = -1 + t

y= 4- t

z = -8+3 t
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Answer 1

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que as referidas retas são de fato concorrentes cujo ponto de interseção é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I(1, 2, -2)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as equações:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}r_{1}: \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z - 2}{4} \end{gathered}$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}r_{2}: \Large\begin{cases} x = -1 + t\\ y = 4 - t\\ z = -8 + 3t\end{cases}\end{gathered}$

Convertendo a forma simétrica da equação da reta "r1" para a sua forma paramétrica, temos:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}r_{1}: \Large\begin{cases}x = 3 + 2\lambda\\ y = -1 - 3\lambda\\ z = 2 + 4\lambda\end{cases} \end{gathered}$

Para sabermos se as retas são concorrentes, devemos verificar se os parâmetros "t" são iguais. Caso positivo, as retas são concorrentes. Caso contrário, não são concorrentes. Para isso, devemos montar e resolver o seguinte sistema de equações:

              $\Large\begin{cases}-1 + t = 3 + 2\lambda\\ 4 - t = -1 - 3\lambda\\ -8 + 3t = 2 + 4\lambda\end{cases}$

Isolando "λ" na 1ª equação temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}-1 + t = 3 + 2\lambda \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}2\lambda = -1 + t - 3 \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}2\lambda = -4 + t \end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lambda = \frac{-4 + t}{2} \end{gathered}$

Substituindo o valor de "λ" na 2ª equação temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}4 - t = -1 - 3\Bigg(\frac{-4 + t}{2} \Bigg) \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}4 - t = -1 + \frac{12 - 3t}{2} \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}4 - t = \frac{-2 + 12 - 3t}{2} \end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}2(4 - t) = 10 - 3t\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}8 - 2t = 10 - 3t \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}-2t + 3t = 10 - 8 \end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}t = 2 \end{gathered}$

Substituindo o valor de "λ" na 3ª equação temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}-8 + 3t = 2 + 4\Bigg(\frac{-4 + t}{2} \Bigg) \end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}-8 + 3t = 2 - \frac{16 + 4t}{2} \end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}-8 + 3t = \frac{4 - 16 + 4t}{2} \end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}2(-8 + 3t) = -12 + 4t \end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}-16 + 6t = -12 + 4t \end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}6t - 4t = -12 + 16 \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}2t = 4 \end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} t = \frac{4}{2} \end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}t = 2 \end{gathered}$

Como os valores de "t" são iguais então, as retas são concorrentes.

Como as retas são concorrentes então devemos encontrar o ponto de interseção entre elas e para isso, devemos substituir o valor de "t" na equação da reta "r2", ou seja:

        $\Large\begin{cases}x = -1 + t = -1 + 2 = 1\\ y = 4 - t = 4 - 2 = 2\\ z = -8 + 3t = -8 + 3\cdot2 = -8 + 6 = -2\end{cases}$

✅ Portanto, o ponto de interseção procurado é:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}I(1, 2, -2) \end{gathered}$

Saiba mais:

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Solução gráfica: