Question

Verifique se as funções são soluções das equações diferenciais:
A) y"+y=0. -> y=senx
B) y"+ y=0. Y=Acosx+Bsenx
C)y"+y=0. Y= eT
D) y"-5y'+6y=0. Com y=e2T

Answer 1

Olá!

Basta derivar as funções dadas, conforme o enunciado de cada item, e substituí-las nas equações para verificar se as satisfazem.

A) $y=\sin{x}$

$y'=(\sin{x})'=\cos{x}\\ y''=(\sin{x})''=(\cos{x})'=-\sin{x}\\ \\ \text{Da\'{\i}, temos}\\ y''+y=-\sin{x}+\sin{x}=0.$

B) $A\cos{x}+B\sin{x}$

$y'=-A\sin{x}+B\cos{x}\\ y''=-A\cos{x}-B\sin{x}=-(A\cos{x}+B\sin{x})\\\text{Da\'{\i},}\\ \\y''+y=A\cos{x}+B\sin{x}-(A\cos{x}+B\sin{x})=0.$

C) $y=e^t$

$y'=e^t=y''\\ \text{Da\'{\i},}\\ \\ y''+y=e^t+e^t=2e^t,$

ou seja, não satisfaz a equação.

D) $y=e^{2t}$

$y'=e^{2t}\cdot{(2t)'}=2e^{2t}\\y''=2e^{2t}\cdot(2t)'=4e^{2t}\\ \text{Da\'{\i},}\\ \\y''-5y'+6y=4e^{2t}-5\cdot(2e^{2t})+6\cdot (e^{2t}) = e^{2t}(4-10+6)=\\ \\ = e^{2t}\cdot 0=0.$

Bons estudos!