Question

Verifique se as aplicações dadas sao transformações lineares
(i) T : R3 → R2 definida por definida por T(x, y, z) = (x + 2y − 3z, 4x − 5y + 6z),

Answer 1

Para ser uma Transformação Linear ela deve satisfazer 3 propriedades:

1. 0∈T(x,y,z),   0=Vetor nulo de R²  0=(0,0)
2. T(u+v)=T(u+v)
3. T(λv)=λT(v),

1)

Seja o vetor k=(0,0,0), enão T(k)=(0,0)

Assim 0∈T(x,y,z)

2)

Seja u=(x,y,z) e v=(x',y',z'), onde x,y,z,x',y',z' são escalares Reais.

$T(u+v)=T(x+x',y+y',z+z')=(x+x'+2(y+y')-3(z+z'),4(x+x')-5(y+y')+6(z+z')\\\\T(u+v)=(x+2y-3z,4x-5y+6z)+(x'+2y'-3z',4x'-5y'+6z')=T(u)+T(v)$

3)

T(λu)=(λx+2λy-3λz,4λx-5λy+6λz)=λ(x+2y-3z,4x-5y+6z)=λT(u)

Assim fica provado que T é uma Transformação Linear