Question

Verifique se a transformação T : R 2 → R 3 dada por T(x, y) = (x, y, x + y) é linear.

Answer 1

Resposta:

Sim!

Explicação passo-a-passo:

Boa tarde!

1) Verificar se a propriedade da soma é verificada:

$T(x_1,y_1)=(x_1,y_1,x_1+y_1)\\T(x_2,y_2)=(x_2,y_2,x_2+y_2)$

Somando-se os dois:

$T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)=(x_1,y_1,x_1+y_1)+(x_2,y_2,x_2+y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,x_1+x_2+y_1+y_2)\\T(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,x_1+x_2+y_1+y_2)$

Verificado!

2) Verificar se a propriedade de multiplicar por um escalar é verificada:

$\alpha\cdot T(x,y)=\alpha\cdot (x,y,x+y)=(\alpha x,\alpha y, \alpha x+\alpha y)\\T(\alpha x, \alpha y)=(\alpha x, \alpha y, \alpha x+\alpha y)$

Verificado!

Portanto, a transformação é LINEAR!