Question

verifique se a matriz A=[3 2 5 4]
é inversível, se sim, determine A-1​

Answer 1

A Matriz $\bold A$ é inversível. A Matriz $\bold A^{-1}$ é $\left[\begin{array}{cc}2 &-2 \\-\frac{5}{2} &\frac{3}{2} \end{array}\right]$.

Para que uma matriz seja inversível, a seguinte condição tem que acontecer:

$\mathsf{Para~a~Matriz}\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] ,\\\\a\times d\neq b\times c$

Logo vamos verificar se isto acontece neste caso:

$\bold{A}=\left[\begin{array}{cc}3&2\\5&4\end{array}\right] \\\\3\times4\neq2\times5(=)12\neq10$

Certo, então como a Matriz $\bold A$ cumpre esta condição então ela é inversível.

Sendo assim precisamos fazer a sua inversa, que segue a seguinte formula para todas as matrizes quadradas:

$\mathsf{Para~a~Matriz~A}=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] ,\\\\\bold A^{-1}= \frac{1}{|\bold A|}\times \left[\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right], \mathsf{Tendo~em~conta\\~que}|\bold A|\mathsf{(Determinante)}= (a\times d)-(b\times c)$

(Ou seja, a Inversa da Matriz é igual a 1 sobre o Determinante da Matriz, vezes a Adjunta dessa mesma Matriz que segue a fórmula acima)

Agora basta aplicar isto à Matriz $\bold A$ para obtermos a sua inversa:

$\bold A^{-1}= \dfrac{1}{3\times4-2\times5} \times\left[\begin{array}{cc}4&-2\\-5&3\end{array}\right] =\\\\ \dfrac{1}{12-10} \times\left[\begin{array}{cc}4&-2\\-5&3\end{array}\right]=\\\\ \dfrac{1}{2} \times\left[\begin{array}{cc}4&-2\\-5&3\end{array}\right]=\\\\\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{2} &-\frac{2}{2} \\\\-\frac{5}{2} &\frac{3}{2} \end{array}\right]=\\\\\left[\begin{array}{cc}2 &-2 \\-\frac{5}{2} &\frac{3}{2} \end{array}\right]$

Logo $\bold A^{-1}= \left[\begin{array}{cc}2 &-2 \\-\frac{5}{2} &\frac{3}{2} \end{array}\right]$.

Resumindo, primeiro através da nossa condição verificamos que a matriz era inversível. E depois através da fórmula calculamos essa mesma inversa.

Para mais sobre a Inversa da Matriz: https://brainly.com.br/tarefa/6242286