Question

Verifique se a função f(x) = {x/x-1, se x diferente de 1, 3 se x = 1}, é contínua em x=1, justifique sua resposta.

Answer 1

Uma função é contínua em um certo número a quando:

$\mathtt{f(\bf{a})\,existe}~\checkmark\\\mathtt{\lim_{x\to a}existe~\checkmark}\\\mathtt{\lim_{x~\to~a}=f(a)~\checkmark}$

Em outras palavras, uma função é contínua em um número a quando o valor existe no ponto, o limite existe no ponto e é igual ao valor no ponto.

$\mathtt{f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{x-1}\,x\ne1\\3~se~x=1\end{cases}}$

note que a função está definida em x=1  portanto

$\mathtt{f(1)=3\checkmark}$

vamos vamos calcular o limite pela direita:

$\mathtt{\lim_{x~\to~{1}^{+}}\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{{0}^{+}}=+\infty}$

vamos calcular o limite pela esquerda:

$\mathtt{\lim_{x~\to~{1}^{-}}\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{{0}^{-}}=-\infty}$

$\mathtt{\lim_{x~\to~{1}^{+}}f(x)\ne\lim_{x~\to~{1}^{-}}f(x)\Rightarrow\,\lim_{x~\to~1}f(x)\not\exists}$

portanto a função não é contínua em x=1 porque a segunda condição foi ferida.