Question

Verifique se a função f (x)= 3x|x| é derivavel no ponto x=0.​

Answer 1

Bom dia!!

Para que a função f seja diferenciável no ponto x₀ qualquer deve existir o seguinte limite:

$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Como queremos verificar a diferencialidade no ponto x = 0, nosso x₀ = 0.

Calculando o limite temos:

$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \\\\\\ \lim_{h \to 0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\ \\\\ \lim_{h \to 0} \dfrac{3.h.|h|-0}{h}\\\\\\\lim_{h \to0} 3.|h| = 0$

Logo, existe o limite para x = 0, portanto f é diferenciável em x = 0 e sua derivada é igual a 0, pois trata-se de um ponto de inflexão da função.

Espero ter ajudado. Bons estudos!