Verifique se a função f é contínua no ponto especificado.
Soluções para a tarefa
Como resposta a estes itens sobre a continuidade das funções, temos:
c) A função é contínua no ponto especificado.
d) A função é descontínua no ponto especificado.
Explicação:
A definição de continuidade de funções diz que:
é contínua em um dado intervalo de seu domínio ⇔
α ∈ ∧
Podemos falar isso de um modo mais palpável e inteligível. Definimos que uma função é contínua em um intervalo quando percorremos nesse intervalo e não precisamos "tirar a caneta" de seu desenho (gráfico) em momento algum.
Sendo assim, vamos olhar para o gráfico da primeira função. (Primeira Imagem)
Primeiro passo, podemos escrever a primeira sentença de de uma outra forma:
⇔ ∴
Vamos agora obtermos seu gráfico. (Veja a imagem 1)
Observe que para o ponto referido (ponto A) não precisamos "tirar a caneta" de cima da linha, logo a função é contínua no ponto (1,-2). Vale lembrar que estamos analisando o ponto (1,-2), pois a segunda sentença da função diz que: para x = 1, faça y = -2; daí o ponto A = (1,-2).
Agora, a segunda função. Seu gráfico é dado da seguinte forma: (Veja a imagem 2)
Note que podemos escrever a primeira sentença de outra forma:
Equação de uma parábola.
Observe que agora precisamos "tirar a caneta" para percorrermos o ponto que pertence a função quando ← (- 1). Isso prova a descontinuidade da função nesse ponto (- 1, 1). Isso ocorre porque quando x = - 1, faremos y = 1 (pela sentença II).
No entanto, caso não houvesse a segunda sentença. Quando fizéssemos o x = -1, teríamos então o y = 3 e, por isso, a função seria contínua no ponto (-1, 3). Porém, não ocorre, logo a função é descontínua.
Outra forma de fazer:
Outra maneira é analisarmos a concordância entre as sentenças. Ou seja, vamos ver se a primeira "concorda" com a segunda no ponto dado:
c) Para x = 1.
Sendo este resultado igual ao resultado da segunda sentença (-2) ⇒ a função é contínua.
d) Para x = -1.
Sendo 3 ≠ 1 ⇒ as sentenças "discordam" ∴ a função é descontínua.
Saiba mais em:
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Explicação:
a função é descontínua. no ponto específico