Question

Verifique se a equação diferencial (2x+3x2y)dx+(x3+2y−3y2)dy = 0 é exata. No caso afirmativo encontre sua solução geral.

Answer 1

Nosso objetivo é verificar se a seguinte equação diferencial é exata e se a equação diferencial for exata devemos encontrar sua solução:

$\sf \underbrace{ \sf\left(2x+3x^2y\right)}_{ \tt M\left(x,~y\right)}dx +\overbrace{ \sf\left(x^3+2y-3y^2\right)}^{ \tt N\left(x,~y\right)}dy=0$

Desde o início podemos cometer um grande erro e pensar que a equação diferencial que temos é exata, então vamos lembrar que uma equação diferencial exata (EDE) está presente na forma $\sf M\left(x,~ y \right)dx+N\left(x,~y\right) dy=0$, não se confunda porque para verificar se uma equação diferencial é exata não é simplesmente olhar para sua estrutura, mas verificar que as derivadas parciais da função $\sf M\left(x,~y\right)$ e $\sf N\left(x,~y\right)$ são iguais e se por algum motivo suas derivadas parciais forem iguais podemos dizer que a EDO é exata.

$\sf\dfrac{\partial M\left(x,~y\right)}{\partial y}=\dfrac{\partial N\left(x,~y\right)}{\partial x}$

Antes de encontrar a derivada parcial de cada função em relação à sua variável, lembremos que a derivada parcial de uma função de várias variáveis é a derivada em relação a cada uma dessas variáveis, mantendo as demais constantes.

Qualquer constante que não seja acompanhada por uma variável é automaticamente anulada, então temos:

$\sf \dfrac{\partial }{\partial y}\left(\red{2x}+3x^2y\right)=\dfrac{\partial }{\partial x}\left(x^3+\red{2y}-\red{3y^2}\right)\qquad\to\qquad \sf \dfrac{\partial }{\partial y}\left(3x^2y\right)=\dfrac{\partial }{\partial x}\left(x^3\right)\\\\\\\ \sf 3x^2 \underbrace{\sf\dfrac{\partial }{\partial y}\left(y\right)}_{\tt 1}=\overbrace{\sf \dfrac{\partial }{\partial x}\left(x^3\right)}^{\tt 3x^2}\qquad\to\qquad \green{\sf 3x^2=3x^2\quad\checkmark}$

Podemos verificar que a equação diferencial é exata, então passamos a encontrar sua solução. Para encontrar a solução, integre $\sf M \left(x,~y\right)$ ou $\sf N\left(x,~y\right)$ conforme sua conveniência ($\sf M\left(x,~y\right)$ em relação a x ou $\sf N\left(x,~y\right)$ em relação a y) obtendo assim a solução geral da equação embora com uma função desconhecida λ que aparece como uma constante de integração, ou seja:

$\begin{cases}\sf \Psi(x,~y)=\int Mdx + \lambda(y)\qquad \rm(i)\\\\ \sf \Psi(x,~y)=\int N dy + \lambda(x)\qquad\rm(ii)\end{cases}$

Aqui temos dois caminhos, qualquer que seja o caminho que escolhermos levará à mesma solução, então vamos escolher o caminho que é mais fácil de integral e, na minha opinião, é mais fácil de integral $\sf N$ então escolhemos o caminho (ii).

$\sf \Psi(x,~y)=\int \left(x^3+2y-3y^2\right)dy + \lambda(x)\qquad\to\qquad \sf \Psi(x,~y)=\int x^3dy+ \int 2ydy -\int 3y^2dy+\lambda(x)\\\\\\ \sf \Psi(x,~y)=x^3y+\dfrac{2y^{2}}{2} -\dfrac{3y^{3}}{3} + \lambda(x)\qquad\to\qquad \sf \blue{\sf \Psi(x,~y)=x^3y+y^2-y^3+\lambda(x)}\quad \rm(iii)$

Para que a solução nos agrade devemos encontrar o valor da função λ para isso primeiro encontramos λ' (sua derivada), para isso vamos encontrar a derivada parcial da função $\sf \Psi(x,~y )$ em relação à variável oposta (ou seja, a variável x), fazendo isso temos:

$\sf \Psi_x(x,~y)=\dfrac{\partial }{\partial x}x^3y+\dfrac{\partial }{\partial x}\red{y^2} -\dfrac{\partial }{\partial x}\red{y^3} +\dfrac{\partial}{\partial x}\lambda(x)\qquad\to\qquad\sf \blue{\Psi_x(x,~y)=3x^2y+\lambda'(x)}\qquad\rm{(iv)}$

Defina $\sf M$ igual a $\rm(iii)$:

$\sf 2x +3x^2y=3x^2y+\lambda'(x)\qquad\to\qquad \sf 2x +3x^2y-3x^2y=3x^2y+\lambda'(x)-3x^2y\\\\\\ \sf 2x = \lambda'(x)\qquad\to\qquad \sf \int 2x=\lambda (x)\\\\\\\sf \dfrac{2x^2}{2}+C_1=\lambda (x)\qquad\to\qquad \sf x^2+C_1=\lambda(x)\qquad \rm(v)$

• Substituindo (v) em (iii) podemos ver que:

$\sf\underbrace{\sf \Psi(x,~y)}_{\tt =C_2}=x^3y+y^2-y^3+x^2+C_1\\\\\\\sf\underbrace{ \sf C_2-C_1}_{\tt =C}=x^3y+y^2-y^3+x^2+\underbrace{\sf C_1-C_1}_{\sf =0}\\\\\\ \boldsymbol{\green{ C=x^3y+y^2-y^3+x^2 \quad com~C\in\mathbb{R}}}$