Question

Verifique se a circunferência x2 + y2 – 8x – 6y + 22 = 0 e a reta x + 3y – 4 = 0 possui algum ponto de intersecção.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{N\~ao~existem~pontos~de~intersec\c{c}\~ao}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Existem duas maneiras de resolver esta questão. Podemos testar se realmente há pontos em comum entre a circunferência e a reta por meio da fórmula de distância entre ponto e reta, utilizando as coordenadas do seu centro, ou podemos substituir uma das variáveis na equação e testar as soluções.

Faremos da segunda forma, pois caso realmente haja pontos em comum, podemos encontrá-los diretamente.

Dada a reta de equação $x+3y-4=0$

Isole uma das variáveis. Neste caso, isolarei $x$.

$x=4-3y$

Então, seja a circunferência de equação $x^2+y^2-8x-6y+22=0$

Substitua a expressão que isolamos em $x$

$(4-3y)^2+y^2-8\cdot(4-3y)-6y+22=0$

Expanda o binômio e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$16-24y+9y^2 +y^2-32+24y-6y+22=0$

Some os termos semelhantes

$10y^2-6y+6=0$

Aplique a fórmula de Bháskara para resolver esta equação quadrática.

Sabemos que a fórmula consiste em utilizar os coeficientes da equação $ax^2+bx+c=0$ em $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$, logo fazemos:

$y=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot10\cdot6}}{2\cdot10}$

Calcule a potência, a multiplicação e a soma dos valores

$y=\dfrac{6\pm\sqrt{-204}}{20}$

Como podemos ver, o radicando é negativo. Isto significa que não há solução real para $y$.

Dessa forma, não existem pontos de intersecção entre esta circunferência e esta reta. Veja a imagem a seguir: