Question

Verifique se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa: Se A e B são duas matrizes tais que AB está definido e resulta numa matriz invertível, então A e B são quadradas e invertíveis. Justifique.


Resposta: (FALSO)

Answer 1

Basta considerar o caso em que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B mas que a matriz produto não tenha o número se linhas igual ao número de colunas. Exemplo

$A=(aij)_{3\times2}\\B=(bij)_{2\times4}\\A.B=C_{3\times4}$ que não é matriz quadrada

Answer 2

Resposta:

Falso

Explicação passo-a-passo:

Considere o exemplo abaixo

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\ 0&0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Assim temos o produto de uma matriz 2x3 por uma matriz 3x2 resultando na matriz identidade 2x2, que é invertível. Porém as matrizes que usamos não são quadradas.

Ou seja, é possível que o produto de duas matrizes não quadradas resulte numa matriz invertível. A afirmação é falsa.