Question

Verifique se (2 -5) e a inversa de (3 5)
(-1 3) (1 2)

Answer 1

Olá


$\displaystyle\mathsf{A~=~ \left[\begin{array}{ccc}2&-5\\-1&3\\\end{array}\right] \qquad\qquad\qquad B~=~ \left[\begin{array}{ccc}3&5\\1&2\\\end{array}\right] }$



Para que a matriz A seja inversa de B, o produto entre elas tem que resultar na matriz identidade, ou seja:


A.B = I

$\displaystyle\mathsf{ \left[\begin{array}{ccc}2&-5\\-1&3\\\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}3&5\\1&2\\\end{array}\right] ~=~\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]}$


Então, vamos calcular o produto entre as matrizes, e verificar se A é inversa de B.


$\displaystyle\mathsf{ \left[\begin{array}{ccc}2&-5\\-1&3\\\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}3&5\\1&2\\\end{array}\right] }\\\\\\\mathsf{\left[\begin{array}{ccc}(2\cdot3 -5\cdot 1)\quad &(2\cdot 5 - 5\cdot 2)\\(-1\cdot3+3\cdot 1)\quad &(-1\cdot 5+3\cdot 2)\\\end{array}\right]}\\\\\\\mathsf{\left[\begin{array}{ccc}(6-5)&(10-10)\\(-3+3)&(-5+6)\\\end{array}\right]}\\\\\\\\\boxed{\mathsf{\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]}}$


O produto entre a matriz A e B resultou na matriz identidade, por tanto


A é a matriz inversa de B.

Answer 2

A matriz A é a inversa de B.

Matrizes

Para responder essa questão, devemos considerar que:

• ao multiplicar matrizes, deve-se calcular a soma dos produtos dos elementos da linha da primeira matriz com os da coluna da segunda matriz;
• uma matriz é inversa de outro se o produto entre elas é igual à matriz identidade.

Temos então as matrizes a seguir:

$A = \left[\begin{array}{cc}2&-5\\-1&3\end{array}\right] \\B = \left[\begin{array}{cc}3&5\\1&2\end{array}\right]$

Para calcularmos o produto entre elas, temos que:

AB₁₁ = A₁₁·B₁₁ + A₁₂·B₂₁

AB₁₂ = A₁₁·B₁₂ + A₁₂·B₂₂

AB₂₁ = A₂₁·B₁₁ + A₂₂·B₂₁

AB₂₂ = A₂₁·B₁₂ + A₂₂·B₂₂

Calculando os elementos do produto AB, temos:

AB₁₁ = 2·3 + (-5)·1 = 6 - 5 = 1

AB₁₂ = 2·5 + (-5)·2 = 10 - 10 = 0

AB₂₁ = (-1)·3 + 3·1 = -3 + 3 = 0

AB₂₂ = (-1)·5 + 3·2 = -5 + 6 = 1

O produto entre AB é:

$AB = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Logo a matriz A é a inversa de B.

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