Question

Verifique que:

tg 22,5° = $\sqrt{2}$ - 1

Answer 1

$\boxed{\boxed{tg~(2x)=\dfrac{2\cdot tg(x)}{1-tg^{2}(x)}}}$
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Perceba que $2\cdot22,5\º=45\º$

Então:

$tg(2\cdot22,5\º)=tg(45\º)\\\\\\\dfrac{2\cdot tg(22,5\º)}{1-tg^{2}(22,5\º)}=1$

Multiplicando em cruz:

$1-tg^{2}(22,5\º)=2tg(22,5\º)\\-tg^{2}(22,5\º)-2tg(22,5\º)+1=0$

Essa é uma equação do segundo grau. Resolvendo a equação:

$\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-2)^{2}-4\cdot(-1)\cdot1\\\Delta=4+4\\\Delta=4\cdot2\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{2}\\\sqrt{\Delta}=2\sqrt{2}\\\\\\tg(22,5\º)=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-2)\pm2\sqrt{2}}{2(-1)}=\dfrac{2(1\pm\sqrt{2})}{2(-1)}=\dfrac{1\pm\sqrt{2}}{-1}$

Então, temos duas possíveis soluções:

$tg(22,5\º)=\dfrac{1+\sqrt{2}}{-1}=-1-\sqrt{2}\\\\\\tg(22,5\º)=\dfrac{1-\sqrt{2}}{-1}=\sqrt{2}-1$

(- 1 - √2) é um número negativo, portanto não pode corresponder ao valor da tangente de 22,5º (pois 22,5º é um ângulo agudo e, portanto, possui tangente positiva)

Logo:

$\boxed{\boxed{tg(22,5\º)=\sqrt{2}-1}}$