Question

Verifique que F(x) = sen raiz cubica de x é uma função impar e use este fato para mostrar que ...?

Answer 1

Para verificar que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ é ímpar, temos de provar que $f(x) = -f(x), \; \forall x \in \mathbb{R}$. Temos então:

$f(-x) = \sin \sqrt[3]{-x} = \sin\left(-\sqrt[3]{x}\right) = -\sin\left(\sqrt[3]{x}\right) = -f(x).$

Para provar a desigualdade pretendida, começamos por utilizar a aditividade do integral para o separar em 3 partes:

$\displaystyle \int\limits_{-2}^3 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x = \int\limits_{-2}^0 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x + \int\limits_0^2 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x + \int\limits_2^3 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x.$

Notamos agora que os dois primeiros termos se cancelam. Para tal, fazemos a mudança de variável $u = -x \implies \textrm{d}u = -\textrm{d}x$ no primeiro termo. Como $x$ varia entre $-2$ e $0$, $u$ varia entre $2$ e $0$, donde:

$\displaystyle\int\limits_{-2}^0 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x = \int\limits_2^0 \sin \sqrt[3]{-u} \, (-\textrm{d}u).$

Podemos agora inverter os limites do integral:

$\displaystyle\int\limits_2^0 \sin \sqrt[3]{-u} \, (-\textrm{d}u) = -\int\limits_0^2 \sin \sqrt[3]{-u} \, (-\textrm{d}u) = \int\limits_0^2 \sin \sqrt[3]{-u} \textrm{ d}u.$

Como provámos antes, a integranda é ímpar, pelo que $\sin\sqrt[3]{-u} = -u\sin\sqrt[3]{u}$. Assim, vem:

$\displaystyle\int\limits_0^2 \sin \sqrt[3]{-u} \textrm{ d}u = \int\limits_0^2 \left(- \sin \sqrt[3]{u}\right) \textrm{d}u = -\int\limits_0^2 \sin \sqrt[3]{u} \textrm{ d}u.$

A variável de integração é muda, pelo que podemos fazer agora $u \to x$ sem alterar o valor do integral:

$-\displaystyle\int\limits_0^2 \sin \sqrt[3]{u} \textrm{ d}u = -\displaystyle\int\limits_0^2 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x.$

Concluímos então que:

$\displaystyle\int\limits_{-2}^0 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x = -\int\limits_0^2 \sin \sqrt[3]{x}\textrm{ d}x. \iff \int\limits_{-2}^0 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x + \int\limits_0^2 \sin \sqrt[3]{x}\textrm{ d}x = 0.$

Portanto, temos:

$\displaystyle \int\limits_{-2}^3 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x = \underbrace{\int\limits_{-2}^0 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x + \int\limits_0^2 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x}_{=0} + \int\limits_2^3 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x = \int\limits_2^3 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x.$

Vamos agora verificar o sinal da integranda no intervalo $[2,3]$. Os zeros da integranda são:

$\sin \sqrt[3]{x} = 0 \iff \sqrt[3]{x} = n\pi \iff x = n^3\pi^3, \textrm{ com } n \in \mathbb{Z}.$

Como o seno é contínuo, a função terá o mesmo sinal entre dois zeros. Em particular, o sinal entre $x=0$ e $x=\pi^3$ é positivo. Assim, o integral é necessariamente $\geq 0$ em $[2,3]$.

Podemos agora utilizar a estimativa do integral:

$\displaystyle\left|\int\limits_2^3 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x\right| \leq \int\limits_2^3 \left|\sin \sqrt[3]{x}\right| \textrm{ d}x \leq \int\limits_2^3 \textrm{d}x = 1,$

onde se utilizou que a imagem do seno é $[-1,1]$, pelo que $|\sin \theta| \leq 1$ para qualquer $\theta \in \mathbb{R}$. Obtemos assim o pretendido:

$\boxed{0 \leq \displaystyle\int\limits_2^3 \sin \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x \leq 1}.$