Question

Verifique que a equação do segundo grau 10y² + 8x − 30y − 9 = 0 é
uma parábola, determine o vértice, o foco e a equação da diretriz.

Answer 1

As alternativas corretas respectivamente são: a = 0,2 ; F( 299/80, 3/2) ; x = 331/80.

Vamos aos dados/resoluções:  

Ao que diz respeito sobre a equação da parábola, temos:  

10y² + 8x − 30y − 9 = 0

10y² − 30y = - 8x + 9

10(y² − 3y) = - 8x + 9

y² − 3y = - 0,8x + 0,9

E quando somamos 9/4 nos dois lados da equação, teremos:

y² − 3y + 9/4 = - 0,8x + 0,9 + 9/4

y² − 3y + (3/2)² = - 0,8x + 3,15

( y - 3/2 )² = - 0,8x + 3,15

( y - 3/2 )² = - 0,8⋅( x - 3,15/0,8 )

( y - 3/2 )² = - 4⋅0,2( x - 63/16 )

Como a equação anterior está no formato (y-y0)² = -4a (x - x0) que tem como propriedades principais:  

Parábola de concavidade voltada para o eixo contrário ao eixo positivo de x ;

. Vértice (x₀, y₀).

. Foco F(x₀ - a, y₀)

. Reta diretriz x = x₀ + a.

Logo, pela equação  ( y - 3/2 )² = - 4⋅0,2( x - 63/16 ), iremos extrair:  

. Vértice (x₀, y₀) = ( 63/16, 3/2 ).

. a = 0,2.

. Foco F(x₀ - a, y₀):

F( 63/16 - 0,2, 3/2)

F( 299/80, 3/2)

. Reta diretriz x = x₀ + a:

x = 63/16 + 0,2

x = 331/80

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)