Question

Verifique que a equação abaixo não é exata, mas multiplicando-se o fator
integrante u(x,y) = 1/xy³[/tex] a equação torna-se exata, e após isso resolva-a.
x²y² + x(1+y²)y' = 0.

Answer 1

Explicação passo-a-passo: Uma EDO é  dita exata quando $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$ , e a edo exata pode ser escrita como M(x,y)+N(x,y)y'=0. Então, para x²y² + x(1+y²)y' temos:

                                                   x²y² + x(1+y²)y'

M(x,y)=x²y²

N(x,y)=x+xy²

Fazendo a derivada parcial de M em relação a y e de N em relação a x, temos:

$\frac{\partial M}{\partial y}= 2x^2y\\ \frac{\partial N}{\partial x}=y^2$

Como $\frac{\partial M}{\partial y},\;\frac{\partial N}{\partial x}$ são diferentes, a equação não é exata, porém a questão nos dá um fator integrante, então não é necessário descobrir o mesmo. Multiplicando a equação pelo fator u, temos:

                                                     $\frac{x^2y^2}{xy^3}+\frac{x+xy^2}{xy^3}y' = 0\\\\\frac{x}{y}+ \frac{1+y^2}{y^3}y'=0$

Temos que M, N e suas derivadas parciais em relação a y e x, respectivamente, são:

M(x,y) = $\frac{x}{y}$                       My(x,y) = $-\frac{x}{y^2}$

N(x,y) = $\frac{1+y^2}{y^3}$                   Nx(x,y) = 0

****Bom, o fator integrante dado não transformou a equação em exata. Mas prosseguirei considerando que o fator seja válido.****

Sabendo que M(x,y) é uma derivada em relação a x de uma função F(x,y), fazendo a integral dela em relação a x, teremos a função F(x,y)+um fator de y, com isso, temos:

                               $\int\ M(x,y) \, dx = \int\ \frac{x}{y} \, dx = \frac{x^2}{2y} + h(y)$

Com isso, temos que F(x,y)=  $\frac{x^2}{2y}+h(y)$, porém, sabemos que N(x,y) é uma derivada de F(x,y) em relação a y, então podemos derivar a F(x,y) encontrada em relação y e igualar a N(x,y) para encontrarmos h'(y). Derivando F(x,y) em relação y, temos:

                        $F(x,y)=\frac{x^2}{2y}+h(y)\\Fy(x,y)=-\frac{x^2}{2y^2}+h'(y)\\\\Igualando\;Fy(x,y)\;a\;N(x,y)\;,\;temos:\\\\-\frac{x^2}{2y^2}+h'(y)= \frac{1+y^2}{y^3}\\\\ h'(y)= \frac{x^2}{2y^2} + \frac{1+y^2}{y^3}\\Integrando\;h'(y)\;em\;relacao\;a\;y,\;temos:\\\int\ h'(y) \, dy=\int\ \frac{x^2}{2y^2} + \frac{1+y^2}{y^3}\, dy=(-\frac{x^2}{2y} )+(-\frac{1}{2y^2}+ln|y|)$

Substituindo h(y) na F(x,y), temos:

                                      $F(x,y)=\frac{x^2}{2y} -\frac{x^2}{2y} -\frac{1}{2y^2}+ln|y|\\F(x,y)=-\frac{1}{2y^2}+ln|y|$