Question

Verifique que a diferença entre os quadrados de dois números Ímpares é sempre divisível por 8.

Answer 1

Sejam m e n ∈ Z, pela definição de número ímpar existem dois números a e b ímpares tais que:

a = 2m + 1

b = 2n + 1

Elevando-se ao quadrado ambos os ímpares:

a² = (2m + 1)²

b² = (2n + 1)²

E realizando a subtração dos quadrados, sabendo da identidade: a² - b² = (a-b).(a+b),

a² - b² = (2m + 1)² - (2n + 1)²

a² - b² = [(2m + 1) - (2n + 1)].[(2m + 1) + (2n + 1)]

a² - b² = [2.(m + n)].[2.(m + n + 1)]

a² - b² = 4.(m + n).(m + n + 1)

Como o conjunto dos inteiros é fechado para a soma, então existe um k ainda inteiro tal que: k = m + n. Logo, substituindo m + n por k,

a² - b² = 4.k.(k+1)

Uma vez que k+1 > k, ∀ k então k+1 é o inteiro imediatamente posterior a k. Logicamente, como os números pares e ímpares se alternam nos inteiros, isso significa que - independentemente do valor de k - existe apenas um número par além do 4 no produto 4.k.(k+1): ou k ou k + 1.

Consequentemente, caso o par seja k, então existe um p ∈ Z:

k = 2.p ⇒ 4.2.p.(k+1) = 8.p.(k+1)

E caso o par seja (k + 1):

k+1 = 2.p  ⇒ 4.k.2.p = 8.k.p

Logo, qualquer que seja o caso concluímos que devido à presença do fator 8,

⇒ a² - b² é divisível por 8, ∀a, b ímpar