Question

Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores formarão uma base para R3

A) {(2, 1, -1), (-1, 0, 1), (0,0,1)}
B) {(2,1,3), (0,-1,2), (-2,1,-4)}
C) {(2,1,3), (0,0,0), (1,5,2)}
D) {(1,2,3), (4,1,2)}
E) {(1,1,-1), (2,-1,0), (3,2,0)}

Answer 1

Vamos lá, seguinte, pra simplificar teu pensamento, vamos falar sobre o teorema da invariância, que diz que qualquer base em um espaço vetorial tem sempre o mesmo numero de vetores, ou seja, na letra A, o conjunto tem grandes chances de ser base, pois a dim(R³)= 3 e o conjunto tem 3 vetores, já a letra D, não será base para R³ pois o conjunto possui apenas dois vetores.
Beleza, entendido isso, vamos avançar! Pra ti saber se é base ou não, tu vai encontrar o determinante desses conjuntos, resolvidos pelo metodo de sarrus, cujo qual so pode ser aplicado em matrizes 3x3.

Primeiramente, monta-se as matrizes(onde os vetores estarão dispostos em colunas por exemplo a primeira coluna da letra A será: 2, e assim por diante
                                                                                        1
                                                                                       -1
Pelo metodo de sarrus, tu vai montar a matriz, seguindo esses passos para os respectivos numeros, e repetir as duas primeiras colunas totalizando 5 colunas. Feito isso, multiplique as diagonais, sempre lembrando que ao multiplicar a diagonal secundaria o sinal será invertido.
Caso o determinante seja≠ 0, teu conjunto será base 
Caso o determinante seja =0, teu conjunto não será base
A) será base, det = 1
B) sera base, det = 6
C) nao sera base, det=0
D) não sera base pois dim(R³)=3 e o conj. possui dois vetores
E)sera base, det= -7

Então, nas respostas não coloquei justificativa, foi só uma especie de gabarito! Acho que é isso, peço perdão para possíveis equívocos.