Question

verifique para quais valores de x existe o triângulo ABC, sendo A(x.1), B(x+1.2) e C(0 3).
me ajudem por favor!!!!!

Answer 1

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⠀⠀☞ Para que os pontos A, B e C formem um triângulo é necessário que x seja maior que 1. ✅

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⠀⠀Verificaremos duas propriedades para os 3 pontos:

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⠀⠀1) São não-colineares?

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⠀⠀2) Satisfazem a Desigualdade Linear?

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⠀⠀1) Para verificarmos se os 3 pontos não são colineares a matriz abaixo deve ter sua Determinante diferente de zero:

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm \left[\begin{array}{ccc}\rm x_a&\rm y_a&1\\\\\rm x_b&\rm y_b&1\\\\\rm x_c&\rm y_c&1\\\end{array}\right]}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀Pelo Método de Sarrus temos que a Determinante será:

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$\sf\LARGE\blue{\left[\begin{array}{ccc|cc}x&1&1&x&1\\x + 1&2&1&x + 1&2\\0&3&1&0&3\\\end{array}\right]}$

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$\blue{\sf Det(M) = x \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot (x + 1) \cdot 3 - 1 \cdot (x + 1) \cdot 1 - x \cdot 1 \cdot 3 - 1 \cdot 2 \cdot 0 \neq 0}$

$\Large\blue{\sf 2x + 3x + 3 - x - 1 - 3x \neq 0}$  

$\LARGE\blue{\sf x + 2 \neq 0}$

$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~x \neq -2~~}}}$

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⠀⠀2) A Desigualdade Triangular nos garante que a soma de dois lados quaisquer do triângulo sempre será maior que o terceiro lado. Vamos então encontrar a distância entre cada par de pontos:

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{ d = \sqrt{(x_{b}  - x_{a})^{2}  + (y_{b}  - y_{a})^{2}} } & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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$\Large\blue{\sf d_{ab} = \sqrt{(x + 1 - x)^2 + (2 - 1)^2}}$

$\LARGE\blue{\sf = \sqrt{1^2 + 1^2}}$

$\LARGE\blue{\sf = \sqrt{2}}$

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$\Large\blue{\sf d_{bc} = \sqrt{(0 - x - 1)^2 + (3 - 2)^2}}$

$\LARGE\blue{\sf = \sqrt{(-x - 1)^2 + 1^2}}$

$\LARGE\blue{\sf = \sqrt{x^2 + 2x + 2}}$

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$\Large\blue{\sf d_{ca} = \sqrt{(x - 0)^2 + (1 - 3)^2}}$

$\LARGE\blue{\sf = \sqrt{x^2 + (-2)^2}}$

$\LARGE\blue{\sf = \sqrt{x^2 + 4}}$

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$\LARGE\blue{\sf~I)\qquad d_{ab} + d_{bc} > d_{ca}}$

$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~d_{ab} + d_{bc} - d_{ca} > 0~~}}}$

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$\LARGE\blue{\sf~II)\qquad d_{bc} + d_{ca} > d_{ab}}$

$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~d_{bc} + d_{ca} - d_{ab} > 0~~}}}$

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$\LARGE\blue{\sf~III)\qquad d_{ca} + d_{ab} > d_{bc}}$

$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~d_{ca} + d_{ab} - d_{bc} > 0~~}}}$

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⠀⠀Somando I) e II) temos que:

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$\LARGE\blue{\sf~2 \cdot d_{bc} > 0}$

$\LARGE\blue{\sf~2 \cdot \sqrt{x^2 + 2x + 2} > 0}$

$\LARGE\blue{\sf~(2 \cdot \sqrt{x^2 + 2x + 2})^2  > 0^2}$

$\LARGE\blue{\sf~4 \cdot (x^2 + 2x + 2) > 0}$

$\LARGE\blue{\sf~x^2 + 2x + 2 > 0}$

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⠀⠀Pela Fórmula de Bháskara encontramos que x = 1 é a única raiz da equação, ou seja, para que ela seja maior que zero é necessário que x > 1.

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⠀⠀Somando II) e III) temos que:

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$\LARGE\blue{\sf~2 \cdot d_{ca} > 0}$

$\LARGE\blue{\sf~2 \cdot \sqrt{x^2 + 4} > 0}$

$\LARGE\blue{\sf~(2 \cdot \sqrt{x^2 + 4})^2 > 0^2}$

$\LARGE\blue{\sf~4 \cdot (x^2 + 4) > 0}$

$\LARGE\blue{\sf~x^2 + 4 > 0}$

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⠀⠀Como x² sempre será positivo então temos que x ∈ R.

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⠀⠀Somando III) e I) temos que:

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$\LARGE\blue{\sf~2 \cdot d_{ab} > 0}$

$\LARGE\blue{\sf~2 \cdot \sqrt{2} > 0}$

$\LARGE\blue{\sf~(2 \cdot \sqrt{2})^2 > 0^2}$

$\LARGE\blue{\sf~4 \cdot 2 > 0}$

$\LARGE\blue{\sf~8 > 0}$

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⠀⠀O que é verdadeiro.

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⠀⠀Considerando as conclusões de I) e II) temos que para que os pontos A, B e C formem um triângulo temos que {x∈R | x>1}.

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{x}~\pink{>}~\blue{ 1 }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre:

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⠀⠀✈ Pontos Colineares (https://brainly.com.br/tarefa/38178991)

⠀⠀✈ Determinante por Sarrus (https://brainly.com.br/tarefa/38167067)

⠀⠀✈ Fórmula de Bháskara (brainly.com.br/tarefa/38050217)

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$