Question

Verifique para quais valores de x e r o logaritmo existe. a) log x+2 (x^2+4x-5)

Answer 1

Utilizando as definições de existencia de logaritmos, temos que a condição de existencia deste logaritmo é x>1.

Explicação passo-a-passo:

Então temos o seguinte logaritmo:

$Log_{x+2}(x^2+4x-5)$

Por porpriedades de log, podemos separar a base do logaritmando, transformando eles em uma fração de logaritmos:

$\frac{Log(x^2+4x-5)}{Log(x+2)}$

Agora é mais facil de analisar, pois temos dois logaritmos diferentes.

Para um logaritmos existir, o interior dele tem que ser maior que 0, pois a função logaritmo não existe para números negativos e nem para 0, então para esses logaritmos existirem precisamos que:

$x^2+4x-5>0$

$x+2>0$

As duas equações tem que ser maior que zero ao mesmo tempo, então vamos analisar uma por uma:

$x^2+4x-5>0$

Para sabermos onde esta é maior que 0, basta fazer Bhaskara e encontrarmos suas raízes:

$\Delta=4^2-4.a.(-5)=36$

$x=\frac{-4\pm 6}{2}$

$x_1=-5$

$x_2=1$

Assim temos que esta é uma função parabola que corta o eixo x em -5 e 1, e como esta é uma parabola positiva, ela é voltada para cima, ou seja, entre as suas raízes ela esta abaixo do zero, e somente fora das suas raízes ela esta acima do zero, então toda esta função só é positiva, quando x<-5 ou quando x>1.

Agora vamos para a proxima equação:

$x+2>0$

$x>-2$

Esta segunda é mais simples, ela é positiva, quando x é maior que -2.

Agora precisamos juntar as duas, pois uma é positiva quando x<-5 ou x>1, e a outra somente quando x>-2, e como precisamos que as duas condições sejam satisfeitas ao mesmo tempo, então a resposta é que x>1, pois se x>1 vai satisfazer a primeira condição e a segunda, pois 1 é maior que -2 de qualquer jeito.

Assim temos que a condição de existencia deste logaritmo é x>1.