Question

Verifique o numero de soluções da equação cos (2x) - cos^2 x + senx=0 resolvendo no intervalo (0, 2 pi)

Answer 1

$cos(2x)=cos^2x-sen^2x\\cos(2x)-cos^2x+senx=0\\(cos^2x-sen^2x)-cos^2x+senx=0\\cos^2x-sen^2x-cos^2x+senx=0\\-sen^2x+senx=0\\senx=y\\sen^2x=y^2\\-y^2+y=0\\y(-y+1)=0\\y'=0\\y''=1\\\\senx=0$

os ângulos que possuem senx=0 são :  

$0,\pi,2\pi$

Os ângulos que possuem senx=1 são : 

$\pi/2$

Jutando ; 

S= { $0,\frac{\pi}{2},2\pi$ }

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se para dar o número de soluções da seguinte expressão, no intervalo compreendido: (0, 2π):

cos(2x) - cos²(x) + sen(x) = 0

Veja que: cos(2x) = cos²(x) - sen²(x). Assim, substituindo-se, teremos:

cos²(x) - sen²(x) - cos²(x) + sen(x) = 0

Veja ainda que: cos²(x) = 1-sen²(x). Então fazendo mais esta substituição, teremos:

1-sen²(x) - sen²(x) - [1-sen²(x)] + sen(x) = 0 ---- retirando-se os colchetes, ficaremos assim:

1-sen²(x) - sen²(x) - 1 + sen²(x) + sen(x) = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

- sen²(x) + sen(x) = 0 ----- para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", ficando assim:

sen²(x) - sen(x) = 0 ---- vamos pôr sen(x) em evidência, ficando:

sen(x)*[sen(x) - 1] = 0 -----  Veja que temos aqui o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Logo, teremos as seguintes possibilidades:

ou
sen(x) = 0 ------> sen(x)' = 0 

ou

sen(x) - 1 = 0 ------> sen(x)'' = 1

Agora veja: o seno é igual a "0", no intervalo dado, no arco de 180º (ou π radianos) e será igual a "1", também no intervalo dado, no arco de 90º (ou π/2 radianos).

Assim, o número de soluções no intervalo dado (0; 2π) serão de:

2 soluções, que são:

x = π radianos,  ou x = π/2 radianos <---- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma (colocando as soluções em ordem crescente):

S = {π/2; π} .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.