Question

Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de R² e R³ :

a) W = {(x, y)/ − x + 3y = 0}
b) W = {(x, y, z); z = 3x − 2y}

Answer 1

Resposta:

Propriedades de um subespaço vetorial S qualquer:

1) O vetor nulo pertence a S, ou seja, (0, ..., 0) ∈ S.

2) Se u ∈ S e v ∈ S, então u + v ∈ S.

3) Se u ∈ S e α ∈ R, então αu ∈ S.

Analisemos o caso presente: S = {(x,y) ∈ R² | x + 3y = 0}.

1) (x,y) = (0,0) ∈ S, pois 0 + 3·0 = 0 + 0 = 0. Propriedade 1 satisfeita.

2) Sejam dois vetores (x,y) ∈ S e (z,w) ∈ S. Como pertencem a S, então temos que x + 3y = 0 e z + 3w = 0 ⇒ x + 3y + z + 3w = 0 ⇒ (x + z) + 3(y + w) = 0 ⇒ (x + z, y + w) ∈ S ⇒ (x,y) + (z,w) ∈ S. Propriedade 2 satisfeita.

3) Seja o vetor (x,y) ∈ S. Como pertence a S, então temos que x + 3y = 0 ⇒ α(x +3y) = α·0 ⇒ αx + 3αy = 0 ⇒ (αx, αy) ∈ S ⇒ α(x,y) ∈ S. Propriedade 3 satisfeita.

Portanto, S é um subespaço vetorial.

Espero ter ajudado Bons estudos!