Question

Verifique a validade das proposições abertas a seguir considerando a proposição aberta p(x): x²+2x+1≥ 0, no universo dos números reais.

a) (∀x) (p(x))
b) (∃x) (p(x))
c) (∀x) (~p(x))
d)(∃x) (~p(x))

Answer 1

Resposta: alternativa $\text{a) }(\forall x)\,(p(x)).$


A proposição $p(x)$ é a seguinte:

$x^{2}+2x+1\geq 0\;\;\Leftrightarrow\;\;(x+1)^{2}\geq 0$

que é válida para todo $x$ real, pois o quadrado de um número real é sempre maior ou igual a zero.

Answer 2

Vamos encontrar os zeros da função, ou seja, suas raízes.

xelevado a 2 + 2x + 1 = 0

delta = bao quadrado - 4ac
delta = 2 ao quadrado - 4.1.1 = 4 - 4 = 0 (temos, portanto duas raízes reais iguais)

x = (-b +- raiz quadrada de delta) / 2a
x = (-2 +- raiz quadrada de 0) / 2.1 = (-2 +- 0) /2 = -2/2 = -1

Trace uma reta horizontal e coloque a raiz -1 representada por um zerinho.
Quando a função do 2º grau tem as raízes iguais (apenas um valor), a função tem o mesmo sinal de a antes e também depois dessa raiz. Como a é positivo, coloque ++++++++++ antes e depois de -1, acima da reta.
Queremos onde a função é > ou igual a zero, ou seja, onde é positiva ou zero. Portante, pinte na reta onde você colocou os sinais de mais e, também,
o zerinho que você fez para representar o -1
Observe que toda a reta ficou pintada. Isso significa que a solução dessa inequação é o conjunto dos reais todinho.

Vamos às proposições:

a) Válida   (qualquer x)
b) Válida    (existe x)

 ~p(x): x ao quadrado + 2x + 1 < 0
Olhando para a reta que você fez, em intervalo algum a função é negativa. A solução dessa nova inequação seria o conjunto vazio. Então, voltando às proposicões:

c) Não válida   
d) Não válida