Question

Verificar se T(x,y)=(3y,-2x) é uma transformação linear

Answer 1

Temos uma $T:R^2\to R^2$, definida por: $T(x,y)=(3y,-2x)$. Para verificar se é ou não uma transformação linear, devemos observar as seguintes coisas:

$i) \: T(\lambda u) = \lambda T(u), \: \forall \lambda \in \mathbb{R} \: e \: \forall u \in V \: \: \: \\ ii)T(u+v) = T(u) + T(v), \: \forall u,v \in V$

Sabendo disso, vamos iniciar as verificações

• Verificação i):

Para fazer essa observação, devemos primeiro adotar um vetor qualquer pertencente ao espaço da transformação, ou seja, R². Portanto vamos dizer que, dado $u = (a,b) \:\in \:\mathbb{R^2}\:$, então:

$T(\lambda.(a,b)) = \lambda T(a,b) \\ T(\lambda a, \lambda b) = \lambda T(a,b) \: \:$

Pela transformação dada, sabemos que o primeiro termo é multiplicado por -2 e o segundo termo multiplicado por 3, então:

$(3 \lambda b, - 2 \lambda a) = \lambda .(3b, - 2a) \: \: \\ (3 \lambda b, - 2 \lambda a) =(3 \lambda b, - 2 \lambda a)$

Temos que a primeira condição está ok.

• Verificação ii):

Agora temos que adotar mais um vetor, nesse caso será o vetor $v = (c,d) \:\in\:\mathbb{R^2}$, então:

$T((a,b) + (c,d) )= T(a,b) +T(c,d) \\ T(a + c, \: b + d) =T(a,b) +T(c,d) \: \:$

Utilizando a regra da transformação dada:

$(3.(b + d), - 2.(a + c)) = ( 3b, - 2a) + (3d, - 2c) \\ (3b + 3d, - 2a - 2c) = (3b + 3d, - 2a - 2c)$

Portanto, podemos dizer que é sim uma transformação linear.

Resposta: Sim, é uma T.L.

Espero ter ajudado