Question

verificar se são coplanares os seguintes vetores
a) u=2,-1,2),v=(1,2,1) e e=(-2,3,4)​

Answer 1

✅ Após ter calculado o produto misto entre os vetores, concluímos que os vetores:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:Coplanares\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os vetores:

      $\Large\begin{cases}\vec{u} = (2, -1, 2)\\\vec{v} = (1, 2, 1)\\\vec{e} = (-2, 3, 4) \end{cases}$

Dizemos que três vetores em R³ são coplanares se, e somente se, o produto misto entre eles resultar em "0". Caso contrário, não serão coplanares.

Então:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[\vec{u}, \vec{v}, \vec{e}\right] = \vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{e} = \begin{vmatrix}2 & -1 & 2\\1 & 2 & 1\\-2 & 3 & 4 \end{vmatrix}\begin{matrix}2 & -1\\1 & 2\\-2 & 3 \end{matrix} \end{gathered}$

   $\large\displaystyle\begin{gathered}= 2\cdot2\cdot4 + (-1)\cdot1\cdot(-2) + 2\cdot1\cdot3 - (-1)\cdot1\cdot4 - 2\cdot1\cdot3 - 2\cdot2\cdot(-2) \end{gathered}$$\Large\displaystyle\begin{gathered}= 16 + 2 + 6 + 4 - 6 + 8 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}= 30 \end{gathered}$

Portanto, o produto misto é:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[\vec{u}, \vec{v}, \vec{e}\right] = 30 \end{gathered}$

✅ Como o produto misto é diferente de "0", então os vetores:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:Coplanares \end{gathered}$

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Solução gráfica: