Question

verificar se os vetores u= (-2, 3, -4) e v = (-4, 6, -8) são paralelos. Justifique

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Vetores

Sim,são paralelos.

Neste caso fica muito tranquilo de indentificar. Veja que seus pares cordenadas são proporcionais.

U=(-2,3,-4)

V=(2 x -2, 2 x 3, 2 x -4)

V=(-4,6,-8)

Portanto vão ser paralelos

Answer 2

✅ Após ter realizado a análise e os cálculos, concluímos que os vetores são:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Paralelos\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os vetores dados:

            $\Large\begin{cases}\vec{u} = (-2, 3, -4)\\\vec{v} = (-4, 6, -8) \end{cases}$

Sabendo que a desigualdade de Cauchy-Schwarz diz que o produto escalar entre dois vetores sempre será menor ou igual ao produto de seus módulos, ou seja:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v} \le\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\| \end{gathered}$    

Observando esta desigualdade percebemos que quando o primeiro membro for igual ao segundo, teremos vetores paralelos, ou seja:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:\vec{u}\parallel\vec{v} \end{gathered}$

Com:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\neq0\:\:\:e\:\:\:\vec{v}\neq0 \end{gathered}$

Verificando se os vetores são paralelos:

• Calculando o produto escalar dos vetores:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v} = (-2)\cdot(-4) + 3\cdot6 + (-4)\cdot(-8) \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 8 + 18 + 32 \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 58 \end{gathered}$

• Calculando o produto dos módulos dos vetores:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\| = \sqrt{(-2)^{2} + 3^{2} + (-4)^{2}}\cdot\sqrt{(-4)^{2} + 6^{2} + (-8)^{2}} \end{gathered} }$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \sqrt{4 + 9 + 16}\cdot\sqrt{16 + 36 + 64} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \sqrt{29}\cdot\sqrt{116} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \sqrt{29\cdot116} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \sqrt{3364} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 58 \end{gathered}$

Como o produto escalar é igual ao produto dos módulos dos vetores, isto é:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v} =\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\| \end{gathered}$    

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}58 = 58 \end{gathered}$

✅ Então, os vetores são:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}Paralelos \end{gathered}$

Saiba mais:

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Solução gráfica: