Question

Verificar se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso não seja especificado, considere as operações casuais
a) V=R^4, W={(x,x , y,y) | x,y E R}
b) V = R³, W = {(x, y, z); x+y+z=0}

Answer 1

Analisando a composição dos espaços vetoriais dados, temos que ambos os sub-espaços são sub-espaços vetoriais de seus respectivos espaços vetoriais.

Explicação passo-a-passo:

a) V=R^4, W={(x,x , y,y) | x,y E R}.

Temos que verificar que as duas operações sobre um conjunto vetorial são aplicaveis a este conjunto para este ser subconjunto:

Soma:

Supondo (a,a,b,b) a,b E R e (c,c,d,d) c,d E R:

(a,a,b,b) + (c,c,d,d) = (a+c,a+c,b+d,b+d) e como a+c,b+d E R, então a soma é valida.

Elemento Neutro:

(0,0,0,0), como 0 E R, então elemento neutro existe.

Multiplicação por escalar:

Supondo (a,a,b,b) a,b E R, e c E R, temos:

c . (a,a,b,b) = (ca,ca,cb,cb) e como c.a, c.b E R, então a multiplicação é valida.

Assim temos que tanto os resultados de soma quanto de multiplicação por escalar pertencem ao próprio subconjunto, então este é um sub-espaço vetorial.

b) V = R³, W = {(x, y, z); x+y+z=0}

Neste caso podemos fazer como na questão anterior e testar um por um da propriedades, porém tem uma forma mais facil.

Temos o vetor geral dado por:

(x,y,z) , sendo que x+y+z=0.

Então podemos reescrever este vetor como:

(-y-z,y,z) = y(-1,1,0) + z(-1,0,1)

Ou seja, este vetor é:

(x,y,z) = L{(-1,1,0)(-1,0,1)}

Se o vetor geral deste espaço é a combinação de dois vetores pertencentes a R3 que são linearmente independentes, então eles formam sub-espaço vetorial de R3.