Question

Verificar se a matriz A abaixo é inversivel e, se 0 for, determinar sua inversa
(1 2 1
0 1 2
1 1 1)
​

Answer 1

Calculando o determinante:

| 1   2   1|  1   2

|0   1   2|  0  1

| 1   1    1|  1   1

1+2+0=3                 1+4+0 = 5

D= 5-3

D= 2

Veja que o determinante é diferente de 0, isso quer dizer que a matriz é invertível.

Há um método para o cálculo da matriz inversa de uma matriz 3x3 (3 linhas e 3 colunas). Veja:

1  2  1  1  2

0  1  2 0  1                                  

1   1   1  1  1

1   2  1  1  2

0  1   2 0  1

Deves repetir a primeira e segunda coluna ao lado de modo similar ao cálculo do determinante, depois é só repetir a primeira linha e a segunda coluna abaixo.

Agora calcule a matriz adjunta. Exclua a primeira linha e primeira coluna da matriz abaixo. Sublinhei os números que deves ignorar.

1  2  1  1  2

0  1  2 0  1                                                  

1   1  1  1  1

1   2 1  1  2

0  1  2 0  1

Agora pegue os elementos de 2 em 2 e faça os determinantes

  1 2  0  1                                    | 1   2          1  1       2  1 |                      

 1   1  1  1               Madj=            | 1   1           2 1       1   2|

  2  1  1  2                                    |                                    |

  1   2 0  1                                    | 2  0         1  1        1   1 |

                                                   | 1   1          1  1        2  0|

                                                   |                                    |

                                                   | 0   1         1   1        1   2|

                                                   | 1    1          1  2       0   1|

Fazendo os determinantes acima da Madj:  

Madj =   |-1          -1          3|

             |2           0        -2|

             |-1           1          1|

Agora é só dividir pelo determinante da matriz principal que achamos no começo do exercício que é 2

M⁻¹ =     |$\frac{-1}{2}$       $\frac{-1}{2}$       $\frac{3}{2}$|

            | 1          0      -1|

            |$\frac{-1}{2}$         $\frac{1}{2}$       $\frac{1}{2}$ |