Question

Verificar se a integral converge​

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\sf \: \int \limits_{ - \infty }^{0} e {}^{5x} \: dx$

Para calcular essa integral e analisar se ela converge ou não, devemos utilizar o conceito de integral imprópria, nessa questão, temos o seguinte caso:

$\sf \: \int \limits_{ - \infty }^{b}f(x) \: dx \: \: \to \: \: \lim_{a \to - \infty } \sf \: \int \limits_{ a}^{b}f(x)dx$

Aplicando essa característica, teremos que:

$\sf \: \int \limits_{ - \infty }^{0}e {}^{5x} \: dx \: \to \: \: \lim_{a \to - \infty } \sf \: \int \limits_{ a}^{0}e {}^{5x} \: dx$

Agora devemos resolver essa integral pelo método da substituição de variável:

$\sf u = 5x \: \to \: \: \frac{du}{dx} = 5 \: \: \to \: \: \frac{du}{5} = dx$

Substituindo essas informações:

$\lim_{a \to - \infty } \sf \: \int \limits_{ a}^{0}e {}^{u}. \frac{du}{5} \: \: \to \: \: \lim_{a \to - \infty } \sf \: \frac{1}{5} \int \limits_{ a}^{0}e {}^{u} \: du$

A integral da exponencial é basicamente a exponencial, então:

$\sf \lim_{a \to - \infty } \sf \: \frac{1}{5} \int \limits_{ a}^{0}e {}^{u} du \: \: \to \: \: \lim_{a \to - \infty } \sf \: \left[ \frac{1}{5} e {}^{5x} \right ] \bigg |_{ a}^{0}\\ \\ \sf \lim_{a \to - \infty } \frac{e {}^{5.0} }{5} - \frac{e {}^{5.a} }{5} \: \to \: \: \sf\lim_{a \to - \infty } \frac{1}{5} - \frac{e {}^{5a} }{5}$

Substituindo o valor a qual o a tende:

$\sf\lim_{a \to - \infty } \sf \: \frac{1}{5} - \frac{1}{5} .e {}^{5 .( - \infty )} \: \: \to \: \: \sf\lim_{a \to - \infty } \sf \: \frac{1}{5} - \frac{1}{5} .e {}^{ - \infty } \\ \\ \sf\lim_{a \to - \infty } \sf \: \frac{1}{5} - \frac{1}{5} . \frac{1}{e {}^{ \infty } }$

Dado que a divisão de um número pequeno por um número infinito é 0, então:

$\sf\lim_{a \to - \infty } \sf \: \frac{1}{5} - \frac{1}{5} .0 \: \: \to \: \: \sf\lim_{a \to - \infty } \sf \: \frac{1}{5} \\ \\ \boxed{ \sf\frac{1}{5} }$

Portanto temos que a integral de fato converge.