Matemática, perguntado por tiagobts, 10 meses atrás

Verificar se a função abaixo é contínua:

f(x) = x² se x ≤ 0
f(x) = 1 + x² se x > 0

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
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Temos que:

 \sf f(x) =  \begin{cases}  \sf x {}^{2}  \:  \:  se \:  \: x \leqslant 0 \\  \sf 1 + x {}^{2} \:  \: se \:  \: x > 0  \end{cases}

Para uma função ser contínua, ela deve obedecer três quesitos que são:

  \boxed{\sf 1) \: f(x) \rightarrow definida} \:  \:  \: \:  \:   \:  \boxed{\sf 2)\lim_{x\rightarrow a {}^{ + } }f(x) = \lim_{x\rightarrow a {}^{ - } }f(x) }\:  \:  \: \:  \:   \boxed{ \sf  3)\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(x) }

  • 1) A função deve ser definida no tal ponto que tá sendo estudado, ou seja, no nosso caso é "0".

  • 2) Os limites laterais devem ser iguais, pois só existirá o limite bilateral se os laterais forem iguais.

  • 3) O valor do limite bilateral deve ser igual ao valor da função definida.

Sabendo da teoria, vamos partir para os cálculos seguindo a ordem das restrições.

« Restrição 1»:

 \sf f(0) = x {}^{2}   \longleftrightarrow f(0) = 0 {}^{2} \longleftrightarrow  f(0) = 0

A função é sim definida, basta você observar as restrições x² se x ≤ 0, o sinal de menor ou IGUAL, indica que é definida.

« Restrição 2»:

  \sf \lim_{x\rightarrow 0{}^{  + } } f(x) = \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ - } }f(x) \\

Para o limite de "x" tendendo a direita de "0", ou seja, valores maiores que "0", devemos usar a função 1 + x², já para o "x" tendendo a esquerda de "0", ou seja, valores menores que "0", devemos usar a função x², então:

 \sf   \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ + } }1 + x {}^{2}  = \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ - } }x {}^{2}  \\  \sf \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ + } }1 + 0 = \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ - } }0 {}^{2}  \\   \boxed{\sf 1 = 0}

Como o valor dos limites laterais não são iguais, isso ocasiona a descontinuidade da função, ou seja, podemos sim dizer que essa função é descontínua em x = 0.

Espero ter ajudado

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