Question

Verificar qual a posição da reta k de equação 2x + 3y – 5 = 0 em relação a circunferência de equação : (X + 2)² + (Y + 3)² = 22

A - Secante

B - Exterior

C - Tangente​

Answer 1

Temos duas formas de fazer essa questão, a primeira é através da distância entre o centro e a reta "k", já a segunda maneira é um macete mais demorado.

• Primeira maneira •

A questão nos fornece o centro bem bonitinho, pois se você lembrar que uma equação reduzida da circunferência é dada por:

$\sf (x - a) {}^{2} + (y - b) {}^{2} = r {}^{2}$

E lembrar também que o centro é expresso da seguinte maneira:

$\sf C(a,b)$

Podemos dizer então que:

$\sf ( x+ 2) {}^{2} + (y + 3) {}^{2} = 22 \\ \sf(x - ( - 2)) {}^{2} + (y - ( - 3)) {}^{2} = 22\\ \\ \sf C( - 2, - 3) \\ \sf r {}^{2} = 22 \\ \sf r = \sqrt{22}$

Agora é só calcular a distância entre o centro e a equação através da fórmula:

$\boxed{\sf d = \frac{ |ax_o + by_o + c| }{ \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2}}} }$

a, b e c são os coeficientes da equação geral da reta dada pela questão, ou seja:

$\sf 2x + 3y - 5 = 0 \\ \begin{cases} \sf a = 2 \\ \sf b = 3 \\ \sf c = - 5 \end{cases}$

Já os elementos "x" e "y" são os valores da abscissa e ordenada do centro.

$\sf C( - 2, - 3) \rightarrow x = - 2 \: \: \: \: \: \: y = - 3$

Substituindo na fórmula:

$\sf d = \frac{ |ax_o + by_o + c| }{ \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2}}} \\ \\ \sf d = \frac{ |2.( - 2) +3.( - 3) - 5 | }{ \sqrt{3 {}^{2 } + 2 {}^{2} } } \\ \\ \sf d = \frac{ | - 4 - 9 - 5| }{ \sqrt{9 + 4} } \\ \\ \sf d = \frac{ | - 18| }{ \sqrt{13} } \\ \\ \sf d = \frac{18}{ \sqrt{13} } \\ \\ \sf d = \frac{18}{\sqrt{13} } . \frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt{13} } \\ \\ \boxed{\sf d = \frac{18 \sqrt{13} }{13} }$

Note que a distância entre o centro e a reta é maior que o raio, portanto temos uma reta externa a circunferência.

$\boxed{ \sf d C,r > R \rightarrow exterior}$

Espero ter ajudado