Question

Verificar de quantas maneiras diferentes se pode arrumar numa prateleira, 8 livros de matemática, 5 livros de história, de modo que:
a) Os livros de história fiquem sempre juntos
b) Os livros de matemática fiquem sempre juntos
c) Os livros de matemática e história não se misturem

Answer 1

a) Você tem 5 livros de história e 8 livros de matemática.
Para os livros de história ficarem sempre juntos entre si:

- - - - - - - - - - - - - 

Nesses traços você tem de colocar o número de hipóteses que os livros de história podem ficar juntos:

HHHHH_ _ _ _ _ _ _ _
_ HHHHH _ _ _ _ _ _ _ 
_ _ HHHHH_ _ _ _ _ _
_ _ _ HHHHH _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ HHHHH _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ HHHHH _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ HHHHH _ _
_ _ _ _ _ _ _ HHHHH _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ HHHHH
São portanto 9 as formas que os livros de história têm para ficarem todos juntos, porém eles podem trocar de posições entre si ou seja 5! 

Nos restantes espaços caberão os 8 livros restantes (os de matemática) 8! 

Logo: 9 x 5! x 8! = 43 545 600  maneiras diferentes de se disporem os livros

b) Livros de matemática sempre juntos: 
Primeiro vamos ver quantas são as hipóteses de eles ficarem todos juntos nas 13 posições: 

MMMMMMMM_ _ _ _ _ 
_ MMMMMMMM _ _ _ _ 
_ _ MMMMMMMM _ _ _ 
_ _ _ MMMMMMMM _ _ 
_ _ _ _ MMMMMMMM _ 
_ _ _ _  _ MMMMMMMM

São 6 as maneiras de estes se disporem.

Estes livros podem permutar entre eles : 8! e os restantes livros podem permutar nas posições respetivas: 5!  

Logo: 
6 x 8! x 5! = 29 030 400


c) Para não se misturarem estes têm de estar todos ordenados consoante a matéria. 

Ou os livros de história estão do lado esquerdo e os de matemática do lado direito, ou os livros de história do lado direito e os de matemática do lado esquerdo:

MMMMMHHHHHHHH
OU 
HHHHHHHHMMMMM

2 casos possíveis. Os livros podem permutar de posições entre matérias: 5! x 8! 

Logo: 2 x 5! x 8! =9 676 800 


Alguma dúvida? 
Estou aqui para esclarecer!
Espero que tenha percebido o raciocínio! 

H significa história
M significa matemática!