Question

Verificar, através da definição de derivada via limite, o cálculo da derivada

Answer 1

Derivada via limite ou Derivada pela definição.

Sendo f(x) uma função real qualquer, a sua derivada pela definição pode ser calculada da seguinte forma :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x) }{h} }$

A questão nos pede a derivada via limite, da função :

$\fbox{\displaystyle f(x) = 5x^2-3x+7 }$

Derivando :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x) }{h} }$

A ideia é isolar o h no numerador, pois não podemos substituir h $\to$ 0 por causa do denominador..  

Vamos fazer a $f(x+h)$ aqui e dps só substituir. Assim :

$\fbox{\displaystyle f(x+h) = 5.(x+h)^2 - 3(x+h) + 7 }$ ⇒

$\fbox{\dsplaystyle f(x+h) = 5(x^2+2xh+h^2) - 3x-3h + 7 }$ ⇒

$\fbox{\dsplaystyle f(x+h) = 5x^2+10xh+5h^2 - 3x-3h + 7 }$

Substituindo no limite :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{5x^2+10xh+5h^2-3x-3h + 7 - (5x^2-3x+7) }{h} }$

temos então :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{5x^2+10xh+5h^2-3x-3h + 7 - 5x^2+3x-7 }{h} }$

Note que algumas coisas vão se anular, e após isso podemos colocar o h em evidência. Assim :  

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{10xh+5h^2-3h }{h} \to f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(10x+5h-3)}{h} }$

Podemos simplificar o h

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} 10x+5h-3 }$

agora podemos fazer h = 0 ( tendendo a 0 )

$\fbox{\displaystyle f'(x) = 10x+5.0-3 \to f'(x) = 10x - 3 }$

Pronto. Está derivado pela definição.