Question

verifica se o vetor V=(1,-3,2,0) pertence ao sub espaço do R4 gerado pelos vetores v1=(2,-1,3,0), v2(1,0,1,0) e v3 (0,1,-1,0).?​

Answer 1

Para que $v$ pertença ao este subespaço, basta que ele seja uma combinação linear dos seus geradores, ou seja, basta que existam escalares $a_{1,2,3}$ tais que:

$v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3$

$(1,-3,2,0)=a_1(2,-1,3,0)+a_2(1,0,1,0)+a_3(0,1,-1,0)$

$(1,-3,2,0)=(2a_1,-a_1,3a_1,0)+(a_2,0,a_2,0)+(0,a_3,-a_3,0)$

$(1,-3,2,0)=(2a_1+a_2,-a_1+a_3,3a_1+a_2-a_3,0)$

Tirando daí o seguinte sistema de equações lineares:

$\left\{\begin{matrix}2a_1+a_2=1\\-a_1+a_3=-3\\3a_1+a_2-a_3=2\\0=0\end{matrix}\right.$

Da 1º equação tiramos que $a_2=1-2a_1$ e da 2º equação achamos que $a_3=-3+a_1$. Substituindo estes termos na 3º equação:

$3a_1+1-2a_1+3-a_1=2$

$4=2$

Sendo a equação acima falsa, concluímos que o sistema é impossível logo $v$ não é combinação linear dos vetores $v_{1,2,3}$, implicando que ele não pertence ao subespaço gerado por estes vetores.