Question

verefique qual a posição do ponto P(2, -5) em relação a circunferencia da equação x²+y²+2x+8y+13=0

Answer 1

Primeiro você necessita reescrever a equação da circunferência em sua forma simplificada:

$(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$

Onde a e b são as coordenadas do centro da circunferência e r o seu respectivo raio.

Sabendo que:

$(x-a)^2 = x^2 - 2\cdot a \cdot x + a^2$

e:

$(y-b)^2 = y^2 - 2\cdot b \cdot y + b^2$

Então, a versão completa seria:

$x^2 - 2\cdot a \cdot x + a^2 + y^2 - 2\cdot b \cdot y + b^2 = r^2$

Apenas olhando na sua equação, já dá para saber que:

$2\cdot x = -2 \cdot a \cdot x$

e

$8 \cdot y = -2 \cdot b \cdot y$

Ou seja:

$a = \dfrac{2}{-2} = -1$

e:

$b = \dfrac{8}{-2} = -4$

Ou seja, o centro da circunferência é C=(-1,-4). Agora, precisamos calcular o raio. Sabendo os valores de a e b, podemos calcular a equação completa como:

$x^2 - 2\cdot (-1) \cdot x + (-1)^2 +y^2 - 2\cdot (-4) \cdot y + (-4)^2 = r^2$

$x^2 + 2 \cdot x + 1 +y^2 + 8 \cdot y + 16 = r^2$

$x^2 + y^2 + 2 \cdot x + 8 \cdot y + 17 - r^2 = 0$

Perceba agora, que entra a equação acima e a equação original só tem uma diferença, para que as duas sejam iguais, fazemos:

$17-r^2 = 13$

Então:

$17-13 = r^2$

$r = \sqrt{4} = 2$

Assim, descobriu-se que o raio é 2. Agora, para saber a posição do ponto $P = (2,-5)$ em relação à circunfência, basta substituir os valores de x e y do ponto dentro da equação da circunfência simplificada:

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = K^2$

$(x-(-1))^2 + (y-(-4))^2 = K^2$

$(x+1)^2 + (y+4)^2 = K^2$

$(2+1)^2 + (-5+4)^2 = K^2$

$3^2 + (-1)^2 = K^2$

$9 + 1 = K^2$

$10 = K^2$

Como $K^2 = 10$ é maior do que $r^2=2^2=4$. Você descobre que o ponto está fora da circunferência.

Apenas para sua referência, observe a figura em anexo.