Question

Verdadeiro ou falso: $\sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{2} + \sqrt[4]{3}$

Justifique o porquê de ser verdadeiro ou falso.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Npngfelipe, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para justificar o porquê de a expressão abaixo ser VERDADEIRA ou FALSA.

√[2 + √(3)] = √(2) +  ⁴√(3).

Resposta: sentença FALSA, pois não o equivalente à expressão dada não é apenas aplicar uma pretensa propriedade "distributiva" como a que foi aplicada acima.

ii) Agora vamos informar como se calcula a expressão equivalente a:

n = √[a + √(b)]

Veja:  primeiro você encontra um fator auxiliar que chamaremos de "c", que será isto:

c = √(a² - b)

Aí a expressão equivalente à expressão "n" será dada assim:

n = √[(a+c)/2] ± √[(a-c)/2]        . (I)
 
iii) Agora vamos aplicar a expressão (I) acima na nossa expressão original da sua questão, que é esta: √[2 + √(3)] . Vamos encontrar o fator auxiliar "c", que será dado por:

c = √(a² - b) ---- -- note que, no caso da sua questão, temos: a = 2; e b = 3. Assim, teremos:

c = √(2² - 3) = √(4-3) = √(1) = 1 <--- Este é o nosso fator auxiliar "c".

iv) Agora vamos encontrar a expressão "n" da sua questão, que é esta:

n = √[2 + √(3)] --- e vamos aplicar a fórmula, que já vimos que é esta:

n = √[(a+c)/2] ± √[(a-c)/2] ---- como já vimos que a = 2 e c = 1, teremos:

n = √[(2+1)/2] + √[(2-1)/2] --- note que onde tinha o sinal de ± ficamos com o sinal de "+", pois na expressão original esse sinal é de "+". Desenvolvendo, teremos:

n = √(3/2) + √(1/2) --- note que isto é a mesma coisa que:
n = √(3)/√(2) + √(1)/√(2) ---- para racionalizar, deveremos multiplicar o numerador e o denominador pelo valor da raiz que está no denominador. Assim, teremos:

n = √(3)*√(2)/√(2)*√(2) + √(1)*√(2)/√(2)*√(2)
n = √(3*2)/√(2*2) + √(1*2)/√(2*2)
n = √(6)/√(4) + √(2)/√(4) ----- como √(4) = 2, teremos:
n = √(6) / 2 + √(2) / 2  <--- Esta é a resposta. Ou seja, é esta a expressão equivalente a √[2 + √(3)].

Observação: se você quiser, poderá apresentar também a resposta da seguinte forma, pois os denominadores são os mesmos:

n = [√(6) + √(2)] / 2 <--- A resposta também poderia ser expressa assim.

Como já está mais do que demonstrado qual é a expressão equivalente à sua expressão original, então é claro que já está explicado o porquê de a expressão de equivalência dada ser FALSA, ou seja, NÃO é verdade que:

√[2 + √(3)] = √(2) +  ⁴√(3) <---- sentença super FALSA.

A sentença correta é a que demos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.