Question

Verdadeiro ou falso e justificativas:
1) Seja a ∈ R tal que:

a) ⁿ√aⁿ

b) ∛(-12)³

Answer 1

a) Seja $a\in \mathbb{R}$ e $n$ um número inteiro positivo, isto é, $n\in\mathbb{N}^{*}.$

O valor de $^{n}\!\!\!\sqrt{a^{n}}$ está bem definido, porém, o resultado desta operação vai depender se $n$ é ímpar ou par:


$\bullet\;\;$ Caso 1. $n$ ímpar:

Se $n$ é ímpar, não há nenhum problema em simplificar as raízes. O sinal da raiz terá o mesmo sinal da base $a$ da potência:

$^{n}\!\!\!\sqrt{a^{n}}=a^{n/n}=a^{1}=a.$


$\bullet\;\;$ Caso 2. $n$ par:

Por definição, a raiz $n$-ésima, com $n$ par, é um número não-negativo. Portanto,

$\,^{n}\!\!\!\sqrt{a^{n}}\\ \\ =\,^{n}\!\!\!\sqrt{|a|^{n}}\\ \\ =|a|^{n/n}\\ \\ =|a|^{1}\\\\=|a|$


Com índice par, não se pode cancelar diretamente a raiz com a potência, justamente por haver duas possibilidades para o resultado da raiz. Mas a raiz é aquela que não é negativa (daí o módulo de $a$)


b) $\,^{3}\!\!\!\!\sqrt{(-12)^{3}}$

Como o índice é ímpar, o sinal da raiz terá o mesmo sinal da base da potência. Então, podemos simplificar diretamente:

$\,^{3}\!\!\!\!\sqrt{(-12)^{3}}\\ \\ =(-12)^{3/3}\\ \\ =(-12)^{1}\\ \\ =-12$
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Note que o mesmo não aconteceria se tivéssemos de calcular $\,^{4}\!\!\!\!\sqrt{(-12)^{4}}:$

$\,^{4}\!\!\!\!\sqrt{(-12)^{4}}\\ \\ =\,^{4}\!\!\!\!\sqrt{\left|-12\right|^{4}}\\ \\ =\,^{4}\!\!\!\!\sqrt{12^{4}}\\ \\ =12^{4/4}\\ \\ =12\neq -12~~~(!!!)$

(o índice é par nesse útlimo caso...)