Question

Veja a seguir como o aluno do nono ano de terminou o valor de k para que a equação
$3 {x}^{2} - 6x + k = 0$
tenha duas soluções reais iguais.
Agora determine o valor de K em cada caso:

a )
$2 {x}^{2} + kx + 16 = 0$
tem duas soluções reais distintas;

b)
$4 {x}^{2} - kx + 4 = 0$
tem uma solução real;

c)
$k {x}^{2} + 6x + 1 = 0$
não tem solução real.

Answer 1

Olá!!!

Resolução!!!

a)

Para ∆ > 0

2x² + kx + 16 = 0

a = 2, b = k, c = 16

∆ = b² - 4ac
∆ = ( k )² - 4 • 2 • 16
∆ = k² - 128

k² - 128 > 0
k² > 128
k > ± √128

128 | 2
64 | 2
32 | 2
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1

√4² • 2² • 2 = √128
√4² • 8 = √128
4 • √8 = √128
4√8 = √128

k > ± 4√8

k' > 4√8 ou k" > - 4√8

b)

Para ∆ = 0

4x² - kx + 4 = 0

a = 4, b = - k , c = 4

∆ = b² - 4ac
∆ = ( - k )² - 4 • 4 • 4
∆ = k² - 64

k² - 64 = 0
k² = 64
k = ± √64
k = ± 8
k' = 8 ou k' = - 8

c)

Para ∆ < 0

kx² + 6x + 1 = 0

a = k, b = 6, c = 1

∆ = b² - 4ac
∆ = 6² - 4 • k • 1
∆ = 36 - 4k

36 - 4k < 0
- 4k > - 36 • ( - 1 )
4k < 36
k < 36/4
k < 9

Espero ter ajudado!!!

Answer 2

Olá ! 

a) 

Para ter 2 soluções reais e distintas, basta que o discriminante (delta) seja maior que zero 

assim ...  

Δ = b² - 4.a.c 

b² - 4.a.c > 0 

k² - 4.2.16 > 0 

k² - 128 > 0 

k² > 128 

k > +- √128 

k > +- √64.2 

k > +- 8√2

k' = 8√2

k'' = - 8√2 

Estudando os sinais temos : 

----- - 8√2 ------- 8 √2 -------
  +               -                 + 

Temos então a solução : 

S = { k ∈ R/ k < -8√2 ou k > 8√2 } 

==========================================================

b) 

Apenas uma solução = duas iguais, basta o discriminante ser igual a zero ... 

Assim : 

0 = (-k)² - 64 

0 = k² - 64 

64 = k² 

k = √64 

k' = 8 

k'' = -8 

Assim temos a solução : 

S = { -8 , 8 } 

========================================================== 

c) 

Para que não tenha solução real basta o determinante ser menor que zero ... 

Assim: 

6² - 4.k.1 < 0 

36 - 4k < 0 

36 < 4k 

4k > 36 

k > 36/4 

k > 9 

Assim temos a solução : 

S = { k ∈ R/ k > 9 }                                                              ok