Question

Vamos ver um exemplo. Em uma progressão aritmética de vinte termos, o terceiro termo vale 10 e o oitavo termo vale 30. a) Qual é o primeiro termo? b) Qual é o último termo? c) Quanto vale a soma de todos os termos?​

Answer 1

a) O primeiro termo é 2.

b) O último termo é 76.

c) A soma de todos os termos é 800.

Explicação:

O termo geral de uma progressão aritmética é dado por:

aₙ = a₁ + (n - 1)·r

em que a₁ é o primeiro termo, n é o número de termo e r é a razão.

Assim, temos:

terceiro termo (n = 3)

a₃ = a₁ + (3 - 1)·r

10 = a₁ + 2·r

Logo: a₁ = 10 - 2·r

oitavo termo (n = 8)

a₈ = a₁ + (8 - 1)·r

30 = a₁ + 7·r

Logo: a₁ = 30 - 7·r

Então:

10 - 2·r = 30 - 7·r

- 2·r + 7·r = 30 - 10

5·r = 20

r = 20/5

r = 4

a) O valor do primeiro termo será:

a₁ = 10 - 2·r

a₁ = 10 - 2·4

a₁ = 10 - 8

a₁ = 2

b) Para obter o valor do último termo, basta substituir n por 20, já que essa PA tem 20 termos.

aₙ = a₁ + (n - 1)·r

a₂₀ = 2 + (20 - 1)·4

a₂₀ = 2 + 19·4

a₂₀ = 2 + 76

a₂₀ = 78

c) A soma dos termos de uma PA é dada por:

Sₙ = (a₁ + aₙ)·n

            2

Então:

S₂₀ = (2 + a₂₀)·20

                 2

S₂₀ = (2 + 78)·20

                 2

S₂₀ = 80·20

              2

S₂₀ = 80·10

S₂₀ = 800