Question

Vamos supor que possamos continuar a operar com os números complexos como se opera com os números reais, respeitando-se apenas a novidade que decorre do fato de termos i²= -1. Determine as soluções para as situações a seguir:
a) i⁷
b) i⁵+i⁸
c)i⁴+i⁹-i⁶
d) (-1+i)³​

Answer 1

Primeiro é importante lembrar que as potencias de i são cíclicas, ou seja, elas se repetem a cada 4 potências, veja:

$i^{0} = 1\\ i^{1} = i\\i^{2} = (\sqrt{-1} )^{2} = -1\\i^{3} = i^{2}.i = -1 . i = -i\\\\i^{4} = i^{2}.i^{2} = -1 . -1 = 1\\i^{5} = i^{4} . i = 1 . i = i\\i^{6} = i^{5} . i = i . i = i^{2} = -1\\i^{7} = i^{6}.i = -1 . i = -i$

Assim, esse ciclo se repete. de resultados 1, i, -1, -i ...

Assim, toda otência de i dará um desses 4 resultados. Como eles se repetem a cada 4 potências, para saber qual delas é, basta fazer a divisão do expoente por 4 e observar o resto. É ele qiem indicará qual a potência correta.

Se o resto for 0, a potencia equivale a i^0, se o resto for1, equivale a i¹ e assim or diante.

a) i⁷

7 : 4 = 1 e resto 3 assim:

i⁷ = i³ = -i

b) i⁵+i⁸

5 : 4 = 1 e resto 1

8 : 4 = 2 e resto 0

$i^{5}+ i^{8} = i^{1} + i^{0} = i + 1$

c)i⁴+i⁹-i⁶

4 : 4 = 1 com resto 0

9 : 4 = 2 com resto 1

6 : 4 = 1 com resto 2

$i^{4}+ i^{9}-i^{6} = i^{0} + i^{1}-i^{2} = 1 + i - (-1) = 1 + i + 1 = 2 + i$

d) (-1+i)³​

$(-1 + i)^{3}\\(-1 + i).(-1 + i).(-1 + i)\\(1 - i - i + i^{2} ).(-1+i)\\(1 - 2i + (-1)).(-1+i)\\(1 - 2i - 1).(-1+i)\\(-2i).(-1+i)\\2i-2i^{2}\\2i - 2.(-1)\\2i + 2$