Question

Vamos pensar em um tipo de quadrado mágico formado apenas por potências de base 2. Nele,não é a soma ,mas o produto dos número de casa linha,coluna e diagonal
A) qual é a constante mágica desse quadrado
Expliqueeee

Answer 1

Apesar de parecer diferente, o Quadrado mágico apresentado se comporta e é igual aos Quadrados mágicos tradicionais. Provarei com qualquer quadrado de lado n que a constante desse novo quadrado tem relação direta à constante M do quadrado mágico de nxn.

Pense num quadrado mágico tradicional de lado n:

$\left\begin{array}{cccc}a_1&a_2&...&a_n\\b_1&b_2&...&b_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n_1&n_2&...&n_n\end{array}\right\} n$

Onde cada casa pode ser um número que pertence ao conjunto:

$C = \{1, 2, 3, ..., n^2\}$

Sabemos que o número M é a soma de cada linha, portanto:

$a_1+a_2+...+a_n = M$

$b_1+b_2+...+b_n = M$

...

$n_1+n_2+...+n_n = M$

Somando todas essas linhas, do lado direito resultaremos na soma de todos os números do conjunto, ou seja, de 1 até n². Chamando essa soma de S teremos:

$S = M\times n$

Pois M se repete à direita por n linhas.

Sabendo que a soma de k números consecutivos a partir de 1 é tal que:

$S_k = \dfrac{k(k+1)}{2}$

No caso em que k = n²:

$S= \dfrac{n^2(n^2+1)}{2}$

Colocando na fórmula:

$S = M\times n$

$\dfrac{n^2(n^2+1)}{2}= M\times n$

$\dfrac{M=n(n^2+1)}{2}$

Encontramos a constante mágica M para qualquer quadrado mágico tradicional de lado n. Perfeito, mas agora vamos para o que o exercício pede, um Quadrado perfeito idêntico ao anterior:

$\left\begin{array}{cccc}a_1&a_2&...&a_n\\b_1&b_2&...&b_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n_1&n_2&...&n_n\end{array}\right\} n$

No entanto, o conjunto em que está definido é tal que:

$C = \{2^1, 2^2, 2^3, ..., 2^{n^2}\}$

Outra diferença está em que é o produto dos termos, ou seja, a constante mágica desse novo quadrado (chamarei de X) é igual ao produto dos termos numa mesma linha. De forma idêntica ao que fizemos no outro quadrado:

$a_1\times a_2\times ...\times a_n = X$

$b_1\times b_2\times ...\times b_n = X$

...

$n_1\times n_2\times ...\times n_n = X$

Ao multiplicarmos todas as linhas resultaremos, do lado esquerdo, ao produto de todos os números de 2¹ até 2ⁿ², e do lado direito, X elevado a n:

$2^1\times2^2\times2^3\times...\times 2^{n^2}=X^n$

Aplicando a propriedade da potência em que o produto de potências de mesma base soma-se os expoentes, resultaremos em:

$2^{1+2+3+...+n{^2}}=X^n$

Perceba que no expoente há juntamente a soma S do quadrado anterior:

$2^S=X^n$

Mas S está definido em função de n:

$S= \dfrac{n^2(n^2+1)}{2}$

$2^{\frac{n^2(n^2+1)}{2}}=X^n$

Aplicando nésima raiz:

$X = \sqrt[n]{2^{\frac{n^2(n^2+1)}{2}}}$

Corta-se os n da raiz e do expoente:

$X = 2^{\frac{n(n^2+1)}{2}}$

Perceba que no expoente, o resultado é justamente M, portanto, chegamos à prova. A constante mágica deste novo quadrado é igual a:

$X = 2^{\frac{n(n^2+1)}{2}}} = 2^M$

Q.E.D.

Outra forma de pensar nesse problema é tal que o produto de termos de mesma base é igual a base elevada à soma dos expoentes, e uma vez que a soma dos expoentes é igual a constante mágica tradicional, a constante mágica do novo quadrado será $2^M$

Answer 2

A constante mágica desse quadrado é 18, pois quando somamos os expoentes em qualquer ordem, o resultado é 18