Vamos exercitar agora o cálculo de área usando os binômios, mas antes faça a seguinte experi-
ência:
Pegue uma folha de papel quadrada, de 10 cm de lado, e recorte-a
com as medidas definidas na figura ao lado. Calcule a área do
quadrado de lado 10 cm e também calcule cada uma das áreas
menores recortadas. Você consegue observar que a relação da
área do quadrado original com as áreas das figuras em que foi
recortado tem semelhança com produtos notáveis? Justifique
sua resposta.
a) Calcule, agora, a área do quadrado, desenvolvendo a expressão utilizando de produto notável.
b) Calcule o volume do cubo, desenvolvendo a expressão utilizando produto notável.
Soluções para a tarefa
Há uma relação entre a área do quadrado e as áreas figuras recortadas com o produto notável; A área do quadrado é 9x² + 12xy + 4y²; O volume do cubo é 8a³ + 16a²b + 16ab² + 8b³.
A área de um quadrado ou retângulo é calculada pela fórmula:
- S = comprimento x largura.
Então, a área de um quadrado de comprimento e largura iguais a 10 cm é igual a:
S = 10.10
S = 10² cm².
Note que as figuras recortadas são:
- Um quadrado de lados 8 cm;
- Um quadrado de lados 2 cm;
- Dois retângulos de comprimento 8 cm e largura 2 cm.
A área dessas figuras são:
S' = 8.8
S' = 8² cm²
S'' = 2.2
S'' = 2² cm²
S''' = 8.2 + 8.2
S'' = 2.8.2 cm².
Observe que: 10² = (2 + 8)² = 2² + 2.8.2 + 8², ou seja, há uma relação com o produto notável (a + b)² = a² + 2ab + b².
a) O quadrado possui comprimento = largura = 3x + 2y. Então, a sua área é igual a:
S = (3x + 2y)(3x + 2y)
S = (3x + 2y)²
S = (3x)² + 2.3x.2y + (2y)²
S = 9x² + 12xy + 4y².
b) O cubo possui comprimento = largura = altura = 2a + 2b. Então, o seu volume é igual a:
V = (2a + 2b)(2a + 2b)(2a + 2b)
V = (2a + 2b)³
V = (2a)³ + 2.(2a)².2b + 2.2a.(2b)² + (2b)³
V = 8a³ + 2.4a².2b + 2.2a.4b² + 8b³
V = 8a³ + 16a²b + 16ab² + 8b³.
Resposta:
7.a) (3x + 2y)²
⠀⠀(3x)² + 2 × 3x × 2y + (2y)²
⠀⠀9x² + 12xy + 4y²
⠀
b) Calcule o valor do cubo, desenvolvendo a expressão utilizando produto notável.
⠀(2a + 2b)³
⠀(2a)³ + 3 × (2a)² × (2b) + 3 × (2a) × (2b)² + (2b)³
⠀8a³ + 6b × 4a² + 6a × 4b + 8b³
⠀8a³ + 24a²b + 24ab² + 8b³
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Explicação passo-a-passo: